トーラスの数式や名称、性質を紹介します。
トーラス上の名称
ドーナツをイメージしてください。
トーラス上のループ（円周）
水平方向に回転する円周 $\mathbf{S}^1$ は、ロンジチュードループ（緯線）と呼ばれます。
垂直方向に回転する円周 $\mathbf{S}^1$ は、メリディアンループ（経線）と呼ばれます。
トーラスを表す記号
トーラス（ドーナツ）は「円周を円周でグルッと回した形状」と言うことができます。
円周を $\mathbf{S}^1$ と書くと、数学的にはトーラス $\mathbf{T}$ は $\mathbf{T} = \mathbf{S}^1 \times \mathbf{S}^1$ と表せます。
トーラスの数式
最大のロンジチュードループの半径が $R+r$ , 最小の半径が $R-r$ で、メリディアンループの半径が $r$ のトーラスを紹介します。
トーラスの方程式
$R, r > 0$ のとき、次式はトーラスを表します：
$$(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$$
媒介変数表示
$R, r > 0$, $0 \leq \theta, \varphi < 2 \pi$ のとき、次式はトーラスを表します：
$$\left\{\begin{array}{rl}
x &=& (R + r \cos \theta) \cos \varphi \\
y &=& (R + r \cos \theta) \sin \varphi \\
z &=& r \sin \theta \\
\end{array} \right. $$
数式の解説
媒介変数表示の数式の導出を説明します。方程式は、媒介変数表示の式でパラメータを消去すれば得られます。
ロンジチュードループの観察
変数 $\theta$ を固定して、トーラスを観察しましょう。
媒介変数表示の式から、次の２式が成立します：
$$\left\{ \begin{array}{cl}
x^2 + y^2 &=& (R + r \cos \theta)^2 \\
z &=& r \sin \theta
\end{array} \right. $$
これは $z$ 軸上の点を中心とする水平方向に広がる円周（ロンジチュード）を表します。
| $\theta$ | $0$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ |
| $z$ | $0$ | $R$ | $R-r$ | $R$ | $R+r$ |
| 半径 | $R+r$ | $R$ | $R-r$ | $R$ | $R+r$ |
変数 $\theta$ を $0 \to 2 \pi$ と動かすと、最も外側の円周（ $z=0$ ）→頂上部の円周（ $z=1$ ）→最も内側の円周（ $z=0$ ）→最下部の円周（ $z=-1$ ）→最も外側の円周（ $z=0$ ）と曲面を描くことが分かります。
メリディアンループの観察
変数 $\varphi$ を固定してトーラスを観察しましょう。
$\cos \varphi = 1$, $\sin \varphi = 0$ のとき（$\varphi = 0$）, 次式が成り立ちます：
$$(x-R)^2 + z^2 = r^2$$
これは 垂直方向の円周（メリディアンループ）を表します。
$\varphi = 0$ ではないときは、図形を $z$ 軸を中心に $xy$ 平面を$-\varphi$ だけ回転すれば，同様に $\theta$ が描く図形は垂直方向の円周だと分かります。
つまり、$xy$ 平面の方向で偏角 $\varphi$ の場所のメリディアンループと一致します。
結論として、描かれる図形がトーラスと分かります。■
トーラスの計量
トーラスの表面積や体積の求め方を紹介します。
表面積
メリディアンループの周の長さが、半径 $R$ の円（ロンジチュード）の分だけあるので、トーラスの表面積は次の通り：
$$2 \pi r \times 2 \pi R = 4 \pi^2 rR.$$
体積
メリディアンループの円の面積が、半径$R$ の円（ロンジチュード）の分だけあるので、トーラスの体積は次の通り：
$$\pi r^2 \times 2 \pi R = 2 \pi^2 r^2 R.$$
