- まとめ
- 具体例
「特殊相対性理論」とは
特殊等価原理と光速度不変を認めた、時空の物理学のこと。
[1]特殊等価原理
どの慣性系であっても,
同じ物理法則が成立.
[2]光速度不変の原理
どの慣性系からも
光速は一定
（ $c$ とする）.
仮定
慣性系 $S$ の観測者（座標 $(t, x)$）に対して, 慣性系 $S'$ の観測者（座標 $(t', x')$）は
速度 $v$ で等速直線運動
する. また, $\beta = v/c$ とおく.
A. ローレンツ変換
慣性系 $S$ の座標系で, 観測者 $S'$ の運動を表すと：
$\displaystyle ct' = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(ct - \beta x)$, $\displaystyle x' =\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}(x- \beta ct)$
B. 時間と空間の収縮の相対性
- 時計の遅れ：$\Delta t' = \sqrt{1 - \beta^2} \Delta t$
- ローレンツ収縮：$\Delta x' = \sqrt{1 - \beta^2} \Delta x$
C. 質量とエネルギーの等価性
慣性系 $S$ で質量 $m$ の物体がもつ静止エネルギー： $E=mc^2$
ポイント解説
慣性系
静止または等速直線運動の関係の観測者による座標系のこと.
ニュートン力学
時間と空間は絶対的; $\displaystyle t' = t$, $\displaystyle x' =x-vt$（ガリレイ変換）
A
初期位置が同一であることと, 慣性系の仮定より線形変換で $t'=p t + r x$, $x' = q(x - vt)$ とできる. 下の3式から, ローレンツ変換が得られる.
・$x'=vt'$ $\Rightarrow$ $(t,x)=(0,0)$ ($\because$ [1])
・$x^2 -(ct)^2 = (x')^2- (ct')^2$ ($\because$ [2])
・$V \to 0$ $\Rightarrow$ $(t,x)=(t',x')$($\because$ ニュートン力学)
B
$S$ 系での運動の各座標を整理する:
①$S'$ は $x=vt$,
②原点 は $(t,0)$,
③距離 $x_A$ の点は $(t, x_A)$
これらの $S'$ 系での座標をローレンツ変換で導く. ①から(1), ②③から(2)が導ける.
パラドックス
双子
時間の遅れから得られるパラドックス
ウラシマ効果
時間の遅れから得られるパラドックス
一般相対性理論
Einstein's field equations
$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} $
参考文献
「時空の幾何学」
著：J.J.キャラハン
訳：樋口三郎
出版：Springer
