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- まとめ
「集合」とは
所属するかどうかが明確に定まっているものの集まりのこと。
記号
集合 $A$ に $x$ が属すことを $x \in A$ とかく, $x$ は $A$ の要素（元）という. 集合 $A$ に $x$ が属さないことを $x \not\in A$ とかく.
A. 集合の包含関係
集合 $A$ が集合 $B$ に含まれるとき $A \subset B$ とかく. $A$ は $B$ の部分集合ともいう. 含まれないときは $A \not\subset B$ とかく.
B. 集合の演算
- 共通部分：$A \cap B = \{ x \mid x \in A \ \textrm{かつ} \ x \in B \}$
- 和集合：$A \cup B=\{ x \mid x \in A \ \textrm{または} \ x \in B \}$
- 補集合：$\overline{A} (={}^cA)=\{ x \in U \mid x \not\in A \}$（ $U$ は全体集合とする）
- 差集合：$A \backslash B=\{ x \mid x \in A \ \textrm{かつ} \ x \not\in B \}$
空集合 $\emptyset$
要素が何もない集合のこと [性質] $A\cap \overline{A}=\emptyset$, $\emptyset \subset A$.
全体集合
考える対象全体の集合のこと [性質] $\overline{U} = \emptyset$, $A \cup \overline{A} = U$.
C. ド・モルガンの法則
① $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
② $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
ポイント解説
表記
集合の表現方法には２種類ある；
- 内包表記：$\{ x \mid x \ \textrm{は} 5 \textrm{以下の自然数} \}$
- 外延表記：$\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
A
$\forall x \in A \Rightarrow x \in B$
が $A \subset B$ の定義である。また,
$A \subset B$ かつ $A \subset B$
のとき $A=B$ とする（外延性の公理）。
B
それぞれの集合のベン図；
C
ベン図は次の通り；
発展
ZFC公理系
が集合を保証する。
