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数学のまとめノート
「内分点と外分点」とは
２点を結ぶ線分の内側や延長線上の点の位置を比で表すこと。
分点
$m, n > 0$ とする. 点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ について$\mathrm{AX} : \mathrm{BX} = m:n$ である点 $\mathrm{X}$ のうち, 線分 $\mathrm{AB}$ 上にある方を
点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B} $ を $m:n$ に内分する点
といい, 線分 $\mathrm{AB}$ の延長線上にある方を
点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $m:n$ に外分する点
という.
A. 数直線上の分点公式
数直線上の $\mathrm{A}(a)$ と $\mathrm{B}(b)$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}$, 外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標は次の通り:
$\displaystyle \mathrm{P}\left( \frac{na + mb}{m+n} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{-na + mb}{m-n} \right)$
中点 $\mathrm{M}$
点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $1:1$ に内分する点であり $\displaystyle \mathrm{M}\left( \frac{a+b}{2} \right)$.
B. 平面上の分点公式
2点 $\mathrm{A}(x_1, y_1)$ と $\mathrm{B}(x_2, y_2)$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}$, 外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標は次の通り:
$\displaystyle \mathrm{P}\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n} \right)$
重心 $\mathrm{G}$
三角形 $\mathrm{ABC}$ について $\displaystyle \mathrm{G}\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$.
ポイント解説
分点
$m:n=2:1$ の内分点 $\mathrm{P}$ と外分点 $\mathrm{Q}$ の例は次の通り：
A・B
内分では $t=m/(m+n)$ とすると,
$m:n = t:(1-t)$
と表せる。
パラメータ表示
座標が $(1-t) a + t b$ である点は次の位置を表す：
- $t=0$ のとき, 点 $\mathrm{A}$ を表す。$t=1$ のとき, 点 $\mathrm{B}$ を表す。
- $0<t<1$ のとき, 点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $t : (1-t)$ に内分する点を表す。
- $t<0$ のとき, 点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $|t| : (1-t)$ に外分する点を表す。
- $1<t$ のとき, 点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $t : |1-t|$ に外分する点を表す。
重心
点 $\mathrm{C}$ の座標を $(x_3, y_3)$ とした。
