- まとめ
「標本平均」とは
母集団分布から抽出した確率変数（標本）の平均の確率変数のこと。
定義
母集団分布から取った独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ について, 次を標本平均という：
$$\bar{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$$
仮定
母平均 $m$, 母標準偏差 $\sigma$ とする.
A. 標本平均の期待値と分散
$E(\bar{X}_n) = m$, $\displaystyle \sigma(\bar{X}_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
B. 大数の法則
標本数 $n$ が大きくなるほど, 標本平均 $\bar{X}_n$ が母平均 $m$ を取る確率が $1$ になっていく.
C. 中心極限定理
どんな母集団の分布であっても. 標本数 $n$ が大きければ, 確率変数 $\bar{X}_n$ は正規分布 $N(m, \sigma^2/n)$ に近似的に従うと見なせる.
ポイント解説
A
母集団分布が何であれ, 成立します。
B
標本の平均が, 母集団の平均と一致していく, ということです。
大数の弱法則（確率収束）$$\forall \epsilon > 0, \lim_{n \to \infty} P(|\bar{X}_n - \mu|>\epsilon) = 0.$$
大数の強法則（概収束）
$$P(\lim_{n \to \infty} \bar{X}_n = \mu) = 1.$$
C
四面のサイコロでの例：
母集団が正規分布ならば, $n$ に関わらず, $\bar{X}_n$ は正規分布です。
