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数学のまとめノート
「数列の漸化式」とは
各項とそれ以前の項との関係を表す式のこと。
基本
漸化式の形から, どんな数列であるか判断し, 一般項を導出する.
A. 基礎的な漸化式
- $a_{n+1} =a_n$ ならば, 数列 $\{ a_n \}$ は定数列.
- $a_{n+1} = a_n + d$ ならば, 数列 $\{ a_n \}$ は公差 $d$ の等差数列.
- $a_{n+1} = r a_{n}$ ならば, 数列 $\{ a_n \}$ は公比 $r$ の等比数列.
- $a_{n+1} = a_n + f(n)$ ならば, 数列 $\{ a_n \}$ の階差数列が $\{ f(n) \}$.
- $a_{n+1} = g(n) a_n$ ならば, 数列 $\{ a_n \}$ の階比数列が $\{ g(n) \}$
B. 特性型の漸化式
- $a_{n+1} = pa_n + q$ のときは, $x=px+q$ の解 $\alpha$ を利用する.
- $a_{n+2} = pa_{n+1} + q a_n$ のときは, $x^2 = px + q$ の解 $\alpha$, $\beta$ を利用する.
ポイント解説
B(1)
与式は
$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$
に変形できる。数列 $\{ a_n - \alpha \}_n$ が公比 $p$ の等比数列だと分かることを利用して導く。
B(2)
与式は次の２つの式に変形することができる：$$\begin{aligned}
a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\
a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n)
\end{aligned}$$ $\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ と $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ はそれぞれ等比数列と分かる。$$\begin{aligned}
a_{n+1} - \alpha a_n &= (a_2 - \alpha a_1) \cdot \beta^{n-1} \\
a_{n+1} - \beta a_n &= (a_2 - \beta a_1) \cdot \alpha^{n-1}
\end{aligned}$$この２式を連立して, $a_n$ の式を作ります。
