方べきの定理について

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まとめ

数学のまとめノート

「方べきの定理」とは

円周上にある４点と他の１点について成り立つ定理のこと。

点の方べき

中心が $O$ で半径 $r$ の円がある. 平面上の任意の点 $P$ について,

$Π (P) = {PO}^{2} - r^{2}$

と定め, これを点 $P$ の方べきと呼ぶ.

方べきの性質

円周上にない点 $P$ を通る直線が円と点 $A$ と $B$ で交わっている. このとき,

$PA \cdot PB = | Π (P) |$

が成り立つ.

A. 方べきの定理

円周上にない点 $P$ を通る2本の直線が点 $A$ と $B$ , 点 $C$ と $D$ で円とそれぞれ交わるとする. このとき, $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成立.

B. 方べきの定理（接線）

円の外部の点 $P$ を通る2本の直線について, 一方が円と点 $A$ と $B$ で交わり, 他方が円と点 $T$ と接する. このとき, $PA \cdot PB = {PT}^{2}$ が成り立つ.

C. 方べきの定理の逆

4点 $P$ , $B$ , $C$ , $D$ について, 直線 $AB$ と $CD$ が点 $P$ で交わるとする. 点 $P$ は線分 $AB$ と線分 $CD$ のそれぞれの内部か, それぞれの外部にあるとする. このとき, $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ ならば 4点は同一円周上に存在する.