- まとめ
- 具体例
「極座標系」とは
距離と偏角を座標として点の位置を表す座標系のこと。
定義
点Oを極, 半直線OXを始線とする. 任意の点Pの座標は,
線分OPの長さ $r$
と,
線分OPと始線OXの角度 $\theta$ (偏角)
を使って, $(r; \theta)$ と書く.
A. 直交座標 $(x,y)$ への座標変換
極座標 $(r; \theta)$ は次の点に対応： $(x, y) = (r \cos \theta, \ r \sin \theta)$
2点間の距離
点 $(r_1; \theta_1)$ と $(r_2; \theta_2)$ の距離を $d$ とすると,
$d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos (\theta_1-\theta_2)$
.
B. 極方程式（直線と円）
- 原点を通り角度 $\theta_0$ の直線：$\theta=\theta_0$
- 点A$(r_0; \theta_0)$ を通り, OAに直交する直線：$r \cos (\theta - \theta_0) = r_0$
- 原点中心で半径 $a$ の円：$r=a$
- 中心が点A$(r_0; \theta_0)$ で, 半径 $a$ の円：$r^2 -2r r_0 \cos (\theta -\theta_0) +r_0^2 =a^2$
C. 極方程式（離心率 $e$ の2次曲線）
焦点が極$\mathrm{O}$, 準線が $r \cos \theta = a$ $(a>0)$： $\displaystyle r = \frac{ea}{1 + e \cdot \cos \theta}$
ポイント解説
定義
点P$(r; \theta)$と点Q$(-r; \theta)$の位置。
A
$r^2 = x^2 + y^2$ も成立する。
B
図形上の点を $\mathrm{P}(r; \theta)$ とする。
(2) $\angle \mathrm{OAP} = \pi/2$ から従う [左図]。
(4) $\mathrm{AP}=a$ から従う [右図]。
C
2次曲線上の点を $\mathrm{P}(r; \theta)$ とする。$r \cos \theta + r/e = a$ から従う。
具体例
曲線の例
円
中心 $(a; 0)$, 半径 $a$ の円
$r = 2a \cos \theta$
螺旋🌀
$r = \theta$
カージオイド
$r = a(1 + \cos \theta)$
正葉曲線
$r = \sin(a\theta)$
レムニスケート
$r^2 = a^2 \cos(2\theta)$
リマソン
$r = a + b \cos \theta$
地図
方位図法
ランベルト正積方位図法
(参照リンク, wikipedia)
