- まとめ
「極座標系」とは
距離と偏角を座標として点の位置を表す座標系のこと。
定義
点Oを極, 半直線OXを始線とする. 任意の点Pの座標は, 線分OPの長さ $r$ と, 線分OPと始線OXの角度 $\theta$ を使って, $(r; \theta)$ と書く.
距離の公式
$d((r_1; \theta_1), (r_2; \theta_2))^2$ $=$ $r_1^2 + r_2^2 - r_1 r_2 \cos (\theta_1-\theta_2)$
A. 直交座標への座標変換
極座標 $(r; \theta)$ は, 直交座標の次の点 $(x,y)$ に対応する:
$x = r \cos \theta, \ \ \ y = r \sin \theta$
B. 直線（極方程式）
- 原点を通り角度 $\theta_0$ の直線：$\theta=\theta_0$
- A$(r_0; \theta_0)$ を通り, OAに直交する直線：$r \cos (\theta - \theta_0) = r_0$
C. 円（極方程式）
- 原点中心で半径 $a$ の円：$r=a$
- 中心が $(r_0; \theta_0)$ で, 半径が $a$ の円：$r^2 -2r r_0 \cos (\theta -\theta_0) +r_0^2 =a^2$
D. 離心率 $e$ の2次曲線（極方程式）
焦点が $\mathrm{O}$, 準線が $r \cos \theta = a$ ( $a>0$ )： $\displaystyle r = \frac{ea}{1 + e \cdot \cos \theta}$
ポイント解説
定義
$r>0$, $0 \leq \theta <2 \pi$ の範囲では, 極を除く点と座標は1:1対応です。
また, $(-r; \theta)$ は $(r; \theta +\pi)$ と定めます。
A
直交座標から極座標への座標変換;
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ とします。$r \neq 0$ のときは, Aの式で, $\theta$ を導けます。
B
(2) $\angle \mathrm{PAO} = \frac{\pi}{2}$ という条件は, $\mathrm{AP}^2 + r_0^2 = r^2$ と同値です。$\mathrm{AP}^2$ を距離公式で導き, 連立すると, 導出できます。
C
(2) 点P $(r, \theta)$ と中心 $(r_0, \theta_0)$ の距離が $a$ という意味です。なお, 円の中心が $(a;0)$ のときは, $r =2a \cos \theta$ という簡単な式になります。
D
点Pから準線までの距離 $r/e$ と, 点PからOAにおろした垂線の足と準線の距離 $a - r \cos \theta$ が等しいという意味の式から導けます。
