- 表紙
- まとめ
- 具体例
数学のまとめ
「順列」とは
いくつかのものからいくつかを選び順番に並べる並べ方のこと。
階乗
自然数 $n$ について
$n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$
とする
定義
$\displaystyle {}_n \mathrm{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
$= n \cdot (n-1) \cdots (n-r+1)$.
ただし, $n$ と $r$ は $n \leqq r$ を満たす自然数である. なお,
${}_n \mathrm{P}_n = n!$
である.
A. 順列の計算の意味
- $n$ 個のものを並べる順列の総数は $n!$ に一致する
- $n$ 個のものから $r$ 個を選んで並べる順列の総数は ${}_n \mathrm{P}_r$ に一致する
B. さまざまな順列の総数
- 円順列：$n$ 個のものから $r$ 個を選び円形に並べる順列の総数は $\frac{{}_n \mathrm{P}_r}{n}$ である
- 重複順列：$n$ 種類のものを同じものの重複を許して $r$ 個並べる順列の総数は ${}_n \Pi_r = n^r$ である
- 同じものを含む順列：$n$ 個のうち $s$ 個, $t$ 個, $\cdots$ が同じもので, これらをすべて並べる順列の総数は $\frac{n!}{s! \cdot t! \cdots}$ である
- 完全順列：$n$ 個のものを, $k$ 番目のものを $k$ 番目以外に並べるときの順列の総数は $\displaystyle n! - \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {}_n \mathrm{C}_{k}(n-k)!$ $\displaystyle =n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ である
ポイント解説
注意
$n! = {}_n \mathrm{P}_n = n!/0!$ より
$0! = 1$
で, ${}_n \mathrm{P}_0 = n!/n!=1$ より
${}_n \mathrm{P}_0=1$
.
A
樹形図を計算で数え上げる；$3!$ の例
B
(1) $n$ 通りずつ重複する
(2) $r$ 箇所それぞれ $n$ 種類ずつ選択できる；
(3) $s!$ や $r!$ 通りずつ重複する
(4) 余事象は「どこかは固定される」であり $\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {}_n \mathrm{C}_{k}(n-k)!$ で求まる；
発展
ガンマ関数 $\Gamma(x)$ は $n \in \mathbb{N}$ のとき, $\Gamma(n+1)=n!$ であり, 階乗の拡張である. なお, $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$ を満たす.
順列の具体例
順列の考え方を応用した並べ方の総数
じゅず順列
$n$ 個の玉でじゅずを作る場合の数$$\frac{(n-1)!}{2}$$
隣リ合う順列
大人が5人・子どもが3人いる。
全員が一列に並ぶ。
子どもが全員隣り合う順列$$(5+1)! \times 3!$$
両端に並ぶ順列
大人が5人・子どもが3人いる。
全員が一列に並ぶ。
端っこは大人が立っておく順列$${}_5 \mathrm{P}_2! \times ((5-2)+3)!$$
プレゼント交換
完全順列に対応する。
