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数学のまとめノート
「放物線」とは
物を放り投げたときの軌道が描く曲線のこと。
定義
ある点とある直線からの距離が等しい点の集まりを放物線という.
A. 左右方向の放物線
- 焦点:
, 準線:
B. 上下方向の放物線
- 焦点:
, 準線:
B. 2次関数のグラフの形状
一般の2次関数
離心率
放物線の離心率
ポイント解説
イメージ
放物運動のシミュレーション
定義
焦点を
イメージ
放物線は自然に現れる。


世の中にある放物線
問い
放物線は、建築物を支えています。また、塩を振りかけてもできます。
東京タワー
東京タワーやエッフェル塔の下の構造は放物線らしいです。





※撮影:2024年8月6日
塩山の放物線


パラボナアンテナ
噴水
2次関数のグラフ
2次関数のグラフは放物線と言われます。
今回は、放物線の定義に合致しているかを検証します!
2次関数のグラフは放物線
2次関数
例えば,
- 焦点:
- 準線:
2次関数のグラフは放物線
放物線かどうかを検証するためには運動方程式を利用することが必要です。
ただ、今回は数学的に、2次関数のグラフが放物線の定義を満たすかどうかを検証します。
2次関数のグラフ
2次関数は、
グラフの形状だけ考えると、
放物線の定義
数学的には放物線は次のように定義します。
ある点と直線からの距離が等しい点の軌跡を放物線という.
証明で確かめる
証明すること→放物線があったとしたら、ある点と直線があって、そこからの距離が等しい点の集まりに本当になっているのか?
証明.2次関数
ある点と直線の候補
点
※焦点
確認事項の確認
2次関数上の動点
このとき, 次の式が成り立てば, 2次関数のグラフは放物線である:
距離の座標表示
2次関数
線分
線分 の距離の計算
線分
結論
以上により,
したがって, 2次関数
このようにして、次のことを導くことができました。
2次関数のグラフは放物線
2次関数
例えば,
- 焦点:
- 準線:
Python
Pythonで放物線のアニメーション
放物運動のPythonコード
放物運動をシミュレーションするコードを作ってもらいました。
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation
# 放物運動をシミュレートする関数
def 放物運動(v, theta, g):
theta_rad = math.radians(theta)
vx = v * math.cos(theta_rad)
vy = v * math.sin(theta_rad)
t_flight = (2 * vy) / g
dt = 0.01
t = np.arange(0, t_flight, dt)
x = vx * t
y = vy * t - 0.5 * g * t ** 2
return x, y
# 入力パラメータ
v0 = 20 # 初速度(m/s)
角度 = 45 # 射角(度)
g = 9.81 # 重力加速度(m/s^2)
# 放物運動をシミュレート
x, y = 放物運動(v0, 角度, g)
# グラフと軸を作成
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlim(0, max(x) + 5)
ax.set_ylim(0, max(y) + 5)
line, = ax.plot([], [], lw=2)
# アニメーション関数
def アニメーション(i):
line.set_data(x[:i], y[:i])
return line,
# アニメーションを作成
ani = animation.FuncAnimation(fig, アニメーション, frames=len(x), interval=10, blit=True)
# アニメーションをHTML5ビデオとして保存して表示
HTML(ani.to_html5_video())
入力パラメータのところの数値を変えれば、他のシミュレーションができます。
放物運動のアニメーション
実際に作成されるアニメーションです!