なぜ、中学校の授業の最初に、分配法則、交換法則、結合法則を習うのでしょうか？
「計算するときに成り立つことだから、計算を早くしたり、複雑な計算ができるようになるために、習っているんだよ。」
というのは、半分正解です。
算数と数学の違いを踏まえて、残りの半分（数学という学問における法則とは）を説明します。
分配法則、交換法則、結合法則
3つの法則を文字を使って整理しましょう。
- 分配法則：$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$
- 交換法則：$a + b = b + a$ もしくは $a \times b = b \times a$
- 結合法則：$(a + b) + c = a + (b+c)$ もしくは $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
眺めるだけではなく、具体的な数字で確かめることが大切です。
例えば、$a = 3$, $b=4$, $c=5$ とします。
分配法則について
分配法則は、次の通り成り立ちます！
(左辺) = $3 \times (4 + 5)$ = $3 \times 9 = 27$
(右辺) = $3 \times 4 + 3 \times 5$ = $12 + 15 = 27$
交換法則について
交換法則は、次の通り成り立ちます！（積の交換法則は省略します。）
(左辺)= $3+4 = 7$
(右辺)= $4+3=7$
結合法則について
結合法則は、次の通り成り立ちます！（積の結合法則は省略します。）
(左辺)= $(3+4)+5$ $=7+5=12$
(右辺)= $3+(4+5)$ $=3+9=12$
以上、数の計算に関する法則を確認できました。
数の計算から文字の計算へ
ここで疑問を持つ人が正解です←この疑問が大切！。
文字を使って、「法則だよ」と伝えています。これについて、すぐに腑に落ちているでしょうか？
具体的な数字で3つの法則が成り立つことは信じられる。
でも、文字の計算に、この法則が成り立つの？
ってか、そもそも文字の計算って何？
この疑問は当然の疑問です！
実は、文字の計算では、3つの法則が（元から）成り立つ、のではなく、3つの法則が成り立つように計算を決める（定義する）と考えています！
数学で「法則」を学ぶ理由
分配法則、交換法則、結合法則の役割
分配法則、交換法則、結合法則を学ぶ理由は、次の2つです。
- 自然数（や分数、小数）の数に共通して成り立つ法則が、分配法則、交換法則、結合法則だから学ぶ
- 文字の計算や、他の数（マイナス、複素数、ベクトルなど）の計算ルールを決めるために、分配法則、交換法則、結合法則を基準にして決めるから学ぶ
理由の①は多くの皆さんが知っていることかもしれません。
文字の計算、マイナスの数、ベクトルや複素数の計算など、身の周りの秩序で計算法則が分からない数の計算については、「3つの規則が成り立つように計算ルールを決める」という立場で考えます。
算数と数学の考え方の区別
この考え方から、算数と数学の区別をしましょう。
算数とは①の考え方をしていく勉強であり、数学とは②の考え方をしていく学問のことです。
算数の勉強
算数では、自然数（や分数、小数）について数の計算で成り立つ法則を見つけていく勉強をしている。
数学の勉強
新しい「数」を創る（発見する）。算数で見つけた法則をベースにして、その数の計算規則はを理解していく（決めていく）勉強をしている。
このような考え方を頭に入れておくと、算数の殻を破って数学を受け入れやすくなります。
例えば、中学校・高校では、マイナスという新しい数の計算、複素数という新しい数の計算が登場します。これらには数学の力が必要になります。
新しい数の計算のルールを決めるために、今までで知っている数の計算の規則をベースにすることが数学を深く理解するために必要です！
