- まとめ
「三角形の内心」とは
三角形の内接円の中心のこと。
定義
三角形の3つの内角の二等分線の交点を内心とする.
A. 内心の存在の保証
三角形の3つの内角の二等分線は, 一点で交わる.
B. 性質(各辺との関係)
内心から三角形の各辺への垂線の足までの長さはすべて等しい. したがって, 内心は内接円の中心である.
C. 公式(内接円の半径を求める)
三角形ABCの3辺の長さを $a$, $b$, $c$ とする。また, 三角形ABCの面積を $S$, 内接円の半径の長さを $r$ とする. このとき, 次が成り立つ.
$$S=\frac{(a+b+c)r}{2}$$
ポイント解説
A
三角形の内角の二等分線と辺の比に成り立つ定理と, チェバの定理の逆を使えば, 証明できます。
![](https://www.masulesson.com/wp-content/uploads/2023/02/incenter_image1-1024x576.png)
B
三角形の合同を示すことで, 証明できます。
![](https://www.masulesson.com/wp-content/uploads/2023/02/incenter_image2-1024x576.png)
★各詳細は今後書いていきます。