- まとめ
「双曲線」とは
２次式で表される曲線のうち、双子になる曲線のこと。
定義
２点からの距離の差が一定の点の軌跡を双曲線という.
数式
距離の差を $2a$, 焦点を $\mathrm{F}$ と $\mathrm{F}'$, 動点を $\mathrm{P}$ とすると, $|\mathrm{PF} - \mathrm{PF'}| = 2a$ とかける.
A. 双曲線の方程式（横方向に発散）
中心が原点で, 頂点が $(a, 0)$, $(-a, 0)$ のとき, $$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$
漸近線が存在し, $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$ と $\displaystyle y = -\frac{b}{a} x$ である.
焦点
焦点の座標を$\pm(c,0)$ とすると, $c^2 = a^2+b^2$ が成り立つ.
B. 双曲線の媒介変数表示
$(x,y)$ $\displaystyle =\left(\frac{a}{\cos \theta}, \ b \tan \theta \right)$
ポイント解説
イメージ
反比例の式のグラフ $xy=c$ は, 双曲線です。
A
縦方向に発散する双曲線の方程式は $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ になります。
頂点間の距離は $2b$ であり, 焦点は $(0, c)$, $(0, -c)$ です。この場合でも, 漸近線は同じ式です。
B
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta = 1$ で, Aの方程式と同等であることが分かります。
横に伸びる双曲線
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
縦に伸びる双曲線
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$
