- まとめ
「等比数列」とは
隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。
定義
任意の $n$ について, $\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ が成り立つ.
漸化式
公比を $r$ とおくと, $a_{n+1} = r a_n$ が得られる.（$r \neq 1$）
A. 等比数列の一般項
$a_n=a_1 r^{n-1}$
B. 等比数列の和
$r=1$ のとき, $S_n= na_1$.
$r\neq 1$ のときは,
$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_1r^{k-1} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$
C. 等比中項の関係
実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等比数列である $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$.
ポイント解説
例
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$（2倍）
・漸化式：$a_{n+1} = 2 a_n$
・一般項：$a_n = 2^{n-1}$
・和の式：$S_n = 2^n-1$
B
$S_n= a+ ar +\cdots + ar^{n-1}$ について, $rS_n - S_n = ar^n - a$ が成り立つことからBは導出できる。
計算テクニック①
初項の調整：$$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$$
計算テクニック②
末項の調整：$$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$$
計算テクニック③
公比の指数の調整：$$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$$
C
等比数列の定義 $\frac{c}{b} = \frac{b}{a}$ と同値。
