- まとめ
- 具体例
「因数分解」とは
多項式をより次数の低い式の積で表すこと。
共通因数でくくる
$ax + ay = a(x+y)$
とできる.
A. ２次式の因数分解（基本公式）
- $x^2 + (a+b)x + ab$ $= (x+a)(x+b)$
- $x^2 \pm 2ax + a^2$ $= (x \pm a)^2$
- $x^2 - a^2$ $= (x+a)(x-a)$
B. ３次式の因数分解（公式）
- $x^3 \pm 3ax^2 + 3a^2x\pm a^3$ $= (x \pm a)^3$
- $x^3 \pm a^3$ $= (x \pm a)(x^2 \mp ax + a^2)$
C. $n$ 次式の因数分解（公式）
- $x^n + {}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1}a + \cdots + {}_n\mathrm{C}_{n-1}xa^{n-1} + a^n$ $= (x+a)^n$
- $x^n - a^n$ $= (x - a)(x^{n-1} + x^{n-2}a + \cdots + x a^{n-2} + a^{n-1})$
除法の利用
多項式 $P(x)$ が多項式 $A(x)$ で割り切れ, 商が $Q(x)$ のとき,
$P(x) = A(x)Q(x)$ と因数分解
できる.
ポイント解説
係数を簡単にするために
共通因数をくくりだすこともある。
A
乗法公式の逆の計算である。また, たすきがけという計算方法もある。
意味
因数分解は長方形の縦と横の辺の長さを求めることである。
B・C
(1)
$n$ 次式を
$n$ 個の $1$ 次式
に因数分解している。二項定理と呼ばれる。
(2)
$n$ 次式を
$1$ 次式と $(n-1)$ 次式
に因数分解している。
因数定理
多項式 $P(x)$ と複素数 $\alpha$ について,
$P(\alpha) = 0$
ならば
$P(x)$ は $x - \alpha$ を因数
にもつ。
発展
任意の多項式は複素数を認めると少なくとも1つは根を持つ（代数学の基本定理）。
具体例
テクニック
たすきがけ
例：$2x^2 + 5xy + 3y^2$ $=(2x+3y)(x+y)$
$$\begin{array}{ccccc}
2x& & 3y& \mathrm{-}&3xy \\
& \times & &&+ \\
x & & y & \mathrm{-} &2xy \\ \hline
2x^2 & & 3y^2 & & 5xy
\end{array}$$
$x^n + a^n$ ( $n$ が奇数 )
$= (x + a)(x^{n-1} - x^{n-2}a + \cdots - x a^{n-2} + a^{n-1})$
$x^4+a^4$
$x^4+2x^2a^2+a^4-2x^2a^2$
$=(x^2 +a^2)^2 -2x^2a^2$
$=(x^2 +a^2 -\sqrt{2}xa)(x^2 +a^2 +\sqrt{2}xa)$
$x^3 +y^3 +z^3 -3xyz$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy-yz-zx)$
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