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数学のまとめ
「指数関数」とは
累乗の指数の定義域を拡張し, 指数を変数とした関数のこと。
自然数ベキ
$m$ が自然数のとき, $a^m = a \times a \times \cdots \times a$ と定める.
A. 指数法則
① $a^m \times a^n = a^{m+n}$
② $\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
③ $(a^m)^n = a^{mn}$
④ $(ab)^m = a^mb^n$
整数ベキ
$a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ と定める.
$a^{-1} = \frac{1}{a}$
で,
$a^0=1$
となる.
有理数ベキ
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ と定める.
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
である.
実数ベキ
無理数 $r$ について $a^r$ は, $1<a$ のとき, $p < r <q$ を満たす任意の有理数 $p$ と $q$ の間 $a^p<a^r<a^q$ として定められる.
B. 指数関数
定数 $a>0$ $(a \neq 1)$ について, $f(x)=a^x$ を指数関数という.
- $0<a<1$ のとき, $s<t$ に対して, $f(s)>f(t)$ である（単調減少）
- $1<a$ のとき, $s<t$ に対して, $f(s)<f(t)$ である（単調増加）
- 非負関数 $f(x) >0$ であり, $x$ 軸が漸近線となる
- すべての実数 $s$ と $t$ に対して, $f(st) = f(s) \cdot f(t)$ を満たす
ポイント解説
A
定数 $a$ は底と呼び, 任意の実数である. ただし, ②では $a\neq 0$ である. 指数が任意の実数でも指数法則を満たす.
B
指数関数のグラフは次の通り：
ちなみに
$a^x = e^{(\log a) x}$
とも表せる.
実数ベキ
$a^r$ は極限として存在する. また, $0<a<1$ なども同様に定められる.
微分
$(e^x)' =e^x$, $(a^x)' =(\log a) a^x$
積分
$\int e^xdx =e^x + C$, $\int a^xdx =\frac{1}{\log a}a^x + C$
級数展開
$\displaystyle a^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\log a)^n}{n!}x^n$
発展
複素数ベキも存在する. 例えば；
- $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$
- $z^w = e^{w\log z}$ $(z, w \in \mathbb{C}, z \neq 0)$
- $i^{i} = 1/\sqrt{e^\pi} \fallingdotseq 0.208$ (主値)
