サイクロイドについて

数学のまとめ

「サイクロイド」とは

直線上を転がる円上の１点がえがく軌跡のこと。

準備(回転前)

半径 $a$ の円が直線上の原点Oの場所にある. 転がる円上の１点を動点P, 円の中心をCとする. 点Pは, 初めは点Oの位置にあるとする.

回転後

円が直線上の点Aの場所まで転がったとする. 円が回転した角度を $θ$ とする. つまり, $∠ PCA$ $=$ $θ$ となる. また, $\overset{⌢}{AP} = a θ$ である. そして, $OA = \overset{⌢}{AP}$ が成り立つ.

A. 媒介変数表示

$x = a (θ - \sin θ)$ , $y = a (1 - \cos θ)$

B. 曲線の性質

ポイント解説

回転後

イメージ図です。

［導出］イメージ図です。

［解釈］ $x = - a \sin θ$ , $y = a - a \cos θ$ は, 原点の場所だけで右回転する円です。Aの式は, $x$ 軸方向に移動距離である弧の長さ $a θ$ を加えたものと解釈できます。