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数学のまとめ
「サイクロイド」とは
直線上を転がる円上の１点がえがく軌跡のこと。
準備(回転前)
半径 $a$ の円が直線上の原点Oの場所にある. 転がる円上の１点を動点P, 円の中心をCとする. 点Pは, 初めは点Oの位置にあるとする.
回転後
円が直線上の点Aの場所まで転がったとする. 円が回転した角度を $\theta$ とする. つまり, $\angle \mathrm{PCA}$ $=$ $\theta$ となる. また, $\displaystyle \stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AP}}=a \theta$ である. そして, $\displaystyle \mathrm{OA}=\stackrel{\huge\frown}{\mathrm{AP}}$ が成り立つ.
A. 媒介変数表示
$x = a(\theta -\sin \theta)$, $y = a(1 -\cos \theta)$
B. 曲線の性質
- 最速降下性･･･曲線上で物体を転がしたとき, 他の曲線よりも物体は早く転がり落ちるという性質
- 等時降下性･･･曲線上のどこから物体を転がり落としても, 物体が終点に到達する時間は同じという性質
ポイント解説
回転後
イメージ図です。
A
［導出］イメージ図です。
［解釈］$x = -a\sin \theta$, $y=a-a\cos\theta$ は, 原点の場所だけで右回転する円です。Aの式は, $x$ 軸方向に移動距離である弧の長さ $a\theta$ を加えたものと解釈できます。
