未解決だった作図の3大問題の紹介

数学の3大作図問題と呼ばれた古代からある作図問題をご存知でしょうか？

作図問題とは（数学の図形の3大難問）

作図問題とは、「定規」と「コンパス」のみを用いて、指定の図が描けるかという問題です。

「定規」とは、メモリを測ることのできる「ものさし」とは違い、真っ直ぐな直線を引くための器具です。

「コンパス」は円を描くための、あのコンパスです。

数千年も前の古代ギリシャの時代から、作図に関する3大問題がありました。

「角の3等分問題」について

1つ目の作図問題です。

角の３等分問題とは

角の3等分問題とは、『どんな角でも3等分線を作図できるか』という問題です。

「どんな角でも」という部分がポイントです。例えば、90度の三等分線はすぐに作図できます。

また、「定規とコンパス以外の道具」を用いたり、「折ること」を許せば、どんな角の三等分も構成できます。

ただ、「どんな角でも」であっても「定規とコンパスのみ」で作図できるか、が問題です。

角の３等分問題の解決

角の３等分問題を証明した人物は、なんと1837年のフランスのピエール・ヴァンチェルです。

どんな角でも作図で３等分できるわけではないと、否定的に解決されました。

作図で、三等分が不可能な角度があるということです。

1837年の証明なので、古代ギリシャから、かなりの時間が経ってからということになります。数学IIを習うと、証明を一応理解することができます。

「円積問題」について

2つ目の作図問題です。

円積問題とは

円積問題とは、『円と、同じ面積の正方形を作図で描けるか』という問題です。

半径 $r$ の円の面積（円積）は $\pi r^2$ です。

面積が $\pi r^2$ の正方形が作図（コンパスと定規だけ）で描けるのかという問題です。

円積問題の解決

円積問題を解決した人は、1882年のドイツのフェルディナント・フォン・リンデマンです。

「こんな正方形は作図では描けない」という否定的な結果が証明されました。

こちらの問題も解決（不可能だという答え）されるまで、2000 年以上経過しました。

証明の方針は、面積の式 $\pi r^2$ の中の円周率 $\pi$ に着目することにありました。$\pi$ は「超越数」という性質を持ちます。超越数とは、方程式の解として得られない数という意味です。この証明の正確な理解には、大学の数学が必要です。

「立方体の倍積問題」について

３つ目の作図問題です。

立方体の倍積問題とは

立方体の倍積問題とは、『立方体の体積を２倍にした立方体を作図できるか』という問題です。

立方体倍積問題とは、ギリシャの「デロス島の問題」からできた問題です。

デロス島の神様が「立方体の形をした祭壇の大きさ（体積）を2倍にせよ」と告げました。

このような立方体を作図で作ることができるか、という問題が議論され続けました。

１辺の長さが $1$ の立方体の体積は $1$ です。体積を２倍にすると $2$ になります。体積 $2$ を持つ立方体の１辺の長さは立方根を使って $\sqrt[3]{2}$ です。

できそうではありますが、この問題も他の問題と同様に2000年近く未解決問題として残っていました。

立方体の倍積問題の解決

立方体の倍積問題を解決した人も、フランスのヴァンチェルです。

「こんな立方体は作図できない」という否定的な結果が証明されました。

証明の核は、$\sqrt[3]{2}$（2の3乗根）が作図では書けないことを示すことでした。これをヴァンチェルは示しました。

こちらの問題も解決（不可能だという答え）されるまで、2000 年以上経過しました。

ヴァンチェルさん、未解決問題を2つも解決して、とても凄い数学者ですネ。