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- 具体例
数学のまとめノート
「円錐曲線（2次曲線）」とは
2次の方程式で表せる曲線で、楕円・放物線・双曲線に大別できる。円錐の切断面としても現れる。
一般式
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
A. 焦点と準線による立式
焦点 $\mathrm{F}(c, \ 0)$ と準線 $\ell: y=-c$, 離心率 $e>0$ について, $\mathrm{PF}: \mathrm{PH} = e: 1$ を満たしながら動く点 $\mathrm{P}$ の軌跡は2次曲線である. ここで, 点 $\mathrm{H}$ は点 $\mathrm{P}$ から直線 $\ell$ におろした垂線の足である.
B. 極座標表示
焦点: 極 $\mathrm{O}$, 準線: $r\cos \theta = a(a>0)$ のとき: $\displaystyle r = \frac{\ell}{1 + e \cdot \cos \theta}$
C. 形状の分類
- 離心率（$0 < e < 1$; 楕円, $e = 1$; 放物線, $1 < e$; 双曲線）
- 円錐の切断面（切断角度が母線の角度よりも水平; 楕円, 母線の角度と等しい; 放物線, 母線の角度よりも垂直; 双曲線）
D. 共通する性質
- 曲線の内側に当たった光線は屈折したのち, 焦点を通る
- うまく遠近法で見ると, すべて楕円に見える.
ポイント解説
A
2線分の長さは次で与えられる:
$\begin{aligned}
\mathrm{PF} &= \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \\
\mathrm{PH} &= |x-(-c)|
\end{aligned}$
B
2次曲線上の点を $\mathrm{P}(r; \theta)$ とする。$r \cos \theta + r/e = a$ から従う。
C
(3) 惑星のもつ力学的エネルギー$(E)$ による惑星軌道の分類:
・$E > 0$：楕円
・$E = 0$：放物線
・$E < 0$：双曲線
(4)土台の形状の違いで, 塩山が造る2次曲線が変化する:
２次曲線の具体例
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