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数学のまとめ
「三角関数（円関数）」とは
三角比を弧度法で実数全体に周期的に拡張した関数のこと。
定義
$X=(1,0)$ とする. 弧度 $\theta$ について, $\theta =\stackrel{\frown}{\mathrm{PX}}$ を満たす単位円上の点 $\mathrm{P}(a,b)$ をとり,
$\sin \theta = b$
,
$\cos \theta = a$
,
$\tan \theta = b/a$
と定める.
A. 正弦関数 $f(x) = \sin (x)$
$f(x+2\pi) = f(x)$ を満たす周期 $2 \pi$ の周期関数で次が成り立つ：
$f(-x) = - f(x),$
$f(x+\pi) = -f(x)$
B. 余弦関数 $g(x) = \cos (x)$
$g(x+2\pi) = g(x)$ を満たす周期 $2 \pi$ の周期関数で次が成り立つ：
$g(-x) = g(x),$
$g(x+\pi) = -g(x)$
C. 正接関数 $h(x) = \tan (x)$
$h(x+\pi) = h(x)$ を満たす周期 $\pi$ の周期関数で, $x = \frac{\pi}{2} + n \pi$ では定義できない（$n$は整数）. また, 次が成り立つ：
$h(-x) = -h(x),$
$h(x+2\pi) = h(x)$
D. 三角関数の相互関係
- $\sin^2(x) + \cos^2(x) =1$
- $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$
- $1 + \tan^2(x) = 1/\cos^2(x)$
ポイント解説
三角関数と弧度
単位円で弧の長さが $1$ の中心角の大きさを $1(\textrm{rad})$
と表す.
微分
- $(\sin (x)) ' = \cos (x)$
- $(\cos (x))' = -\sin (x)$
- $(\tan (x))' = \frac{1}{\cos^2(x)}$
積分
- $\int \sin (x) dx = -\cos (x) + C$
- $\int \cos (x) dx = \sin (x) + C$
- $\int \tan (x) dx = -\log |\tan(x)| + C$
級数展開
- $\sin (x) =x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \cdots$
- $\cos(x) =1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\tan(x) =x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$
微分方程式
- $f'' = -f$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$
- $g'' = -g$, $g(0)=1$, $g'(0)=0$
- $1+h^2=h'$, $h(0)=0$
三角関数の具体例
さまざまな公式
三角関数の周期性（$+2\pi$）
- $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$
- $\cos(x+2\pi) =\cos(x)$
- $\tan(x+2\pi) = \tan(x)$
三角関数の周期性（$+\pi$）
- $\sin(x+\pi) = -\sin( x)$,
- $\cos(x+\pi) = - \cos(x)$
- $\tan(x+\pi) = \tan(x)$
三角関数の対称性（偶奇）
- $\sin(-x) = - \sin(x)$
- $\cos(-x) = \cos(x)$
- $\tan(-x) = - \tan(x)$
三角関数の対称性（$90^{\circ}$の対称性）
- $\sin(\pi - x) = -\sin( x)$,
- $\cos(\pi - x) = - \cos(x)$
- $\tan(\pi - x) = \tan(x)$
三角関数の対称性（$45^{\circ}$の対称性）
- $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos( x)$,
- $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$
- $\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)}$
三角関数の加法定理
- $\displaystyle \sin (\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)$
- $\displaystyle \sin (\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)$
- $\displaystyle \cos (\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$
- $\displaystyle \cos (\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)$
- $\displaystyle \tan (\alpha+\beta) = \frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha) \tan(\beta)}$
- $\displaystyle \tan (\alpha-\beta) = \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1 + \tan(\alpha) \tan(\beta)}$
2倍角の公式
- $\displaystyle \sin (2x) = 2 \sin (x) \cos(x)$
- $\displaystyle \cos (2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)$ $=1-2\sin^2 (x)$ $=2\cos^2(x)-1$
- $\displaystyle \tan (2x) = \frac{2 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}$
半角の公式
- $\displaystyle \sin^2\left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1-\cos(x)}{2}$
- $\displaystyle \cos^2 \left(\frac{x}{2} \right) = \frac{1+ \cos(x)}{2}$
- $\displaystyle \tan^2 \left(\frac{x}{2} \right) = \frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}$
3倍角の公式
- $\displaystyle \sin (3x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^3(x)$
- $\displaystyle \cos (3x) = 4\cos^3(x)-3\cos(x)$
- $\displaystyle \tan (3x) =3 \tan (x) - \frac{3 \tan(x)}{1-\tan^2(x)}$
積和の公式
- $\sin \alpha \cos \beta$ $\displaystyle =\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \}$
- $\cos \alpha \sin \beta$ $\displaystyle =\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \}$
- $\cos \alpha \cos \beta$ $\displaystyle =\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \}$
- $\sin \alpha \sin \beta$ $\displaystyle =-\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \}$
和積の公式
- $\sin A + \sin B$ $\displaystyle =2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- $\sin A - \sin B$ $\displaystyle =2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$
- $\cos A + \cos B$ $\displaystyle =2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- $\cos A - \cos B$ $\displaystyle =-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$
