- まとめ
「直線と円」とは
定規とコンパスで描ける図形のこと。
A. 直線の方程式（定規）
- 傾き $a$, 切片 $b$ の直線：$y = ax+b$
- 点 $(x_1, y_1)$ を通る, 傾き $a$ の直線：$y-y_1=a(x-x_1)$
- 2点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ を通る直線：$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$
- $y$ 軸と平行な直線：$x=x_1$ ※(1)〜(3)で表せられない直線
2本の直線の関係
①平行 ②交わる・垂直 ③ねじれの位置
B. 円の方程式（コンパス）
- 中心 $(a, b)$, 半径 $r$ の円：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- 一般の円：$x^2+y^2 + lx + my + n =0$
2つの円の関係
①他方の円を内部に含む ②内接する ③2点で交わる ④外接する ⑤交点を持たない
円と直線の関係
① 2点で交わる ② 接する ③ 交点を持たない
C. 接線の方程式（単位円：$x^2+y^2=r^2$ ）
単位円周上の点 $(x_1, y_1)$ での接線：$x_1x+y_1y = r^2$
ポイント解説
2本の直線
傾きが $m_1$, $m_2$ の2本の直線について, 「 $m_1 = m_2$ $\Leftrightarrow$ ①」「 $m_1 \cdot m_2 = -1$ $\Leftrightarrow$ 垂直」です。
2つの円
半径 $r_1$ と $r_2$ の２つの円について, 中心間の距離を $d$ とします。(a)$d$ の条件や(b)共通接線の本数は次の通り：
| ＊ | a | b |
|---|---|---|
| ① | $0<d<|r_1-r_2|$ | 0本 |
| ② | $d =|r_1-r_2|$ | 1本 |
| ③ | $|r_1-r_2|<d<r_1+ r_2$ | 2本 |
| ④ | $d=r_1+ r_2$ | 3本 |
| ⑤ | $r_1+ r_2 < d$ | 4本 |
③2つの円 $f(x,y)=0$ と $g(x,y)=0$ の交点を通る図形は, 定数 $k$ を使って, $f(x,y) + kg(x,y)=0$ と表せます。$k=-1$ では直線, $k \neq -1$ では円です。
円と直線
半径 $r$ の円の中心と直線の距離を $d$ とします；「① $\Leftrightarrow$ $0<d<r$ 」「② $\Leftrightarrow$ $d=r$ 」「③$\Leftrightarrow$ $r<d$ 」です。
