円と直線について

「直線と円」とは

定規とコンパスで描ける図形のこと。

A. 直線の方程式（定規）

傾き $a$ , 切片 $b$ の直線： $y = a x + b$
点 $(x_{1}, y_{1})$ を通る, 傾き $a$ の直線： $y - y_{1} = a (x - x_{1})$
2点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線： $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$
$y$ 軸と平行な直線： $x = x_{1}$ ※(1)〜(3)で表せられない直線

2本の直線の関係

①平行 ②交わる・垂直 ③ねじれの位置

B. 円の方程式（コンパス）

2つの円の関係

①他方の円を内部に含む ②内接する ③2点で交わる ④外接する ⑤交点を持たない

円と直線の関係

① 2点で交わる ② 接する ③ 交点を持たない

C. 接線の方程式（単位円： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ）

単位円周上の点 $(x_{1}, y_{1})$ での接線： $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$

ポイント解説

2本の直線

傾きが $m_{1}$ , $m_{2}$ の2本の直線について, 「 $m_{1} = m_{2}$ $\Leftrightarrow$ ①」「 $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ $\Leftrightarrow$ 垂直」です。

2つの円

半径 $r_{1}$ と $r_{2}$ の２つの円について, 中心間の距離を $d$ とします。(a) $d$ の条件や(b)共通接線の本数は次の通り：