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- 理解
数学のまとめ
「二項分布」とは
硬貨を何枚か同時に投げて表が出る回数を表す確率分布のこと。
記号
試行回数 $n$, 確率 $p$ の二項分布を
$B(n, p)$
と書く.
A. 二項分布の確率分布
確率 $p$ の事象が $k$ 回起こる確率は次の通り：$$P(X=k) = {}_n \mathrm{C}_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
B. ベルヌーイ分布
$0$ か $1$ が起こることをベルヌーイ試行という. ベルヌーイ分布は $B(1,p)$ であり, 確率変数を $Y$ とすれば, 期待値 $E[Y] = p$, 分散 $V[Y]=p(1-p)$ である.
C. 期待値と分散
①$E(X) = np$
②$V(X) =np(1-p)$
D. 二項分布の正規分布近似
二項分布 $B(n,p)$ は $n$ が大きいとき, 正規分布 $N(np, np(1-p))$ に近似できる.
ポイント解説
A
確率分布は $0 \sim n$ の範囲で,
$np$ 周辺でピークの山型のヒストグラム
になる.
B
ベルヌーイ試行の確率分布：
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| $P(Y)$ | $p$ | $1-p$ | $1$ |
ベルヌーイ分布に従う確率変数の和 $X=Y_1 + \cdots + Y_n$ は $B(n,p)$ に従う.
C
$P(X=k)$ の確率分布から直接証明する, もしくはベルヌーイ試行の繰り返しで証明する.
Excel
4つの引数を入力；
BINOM.DIST(成功回数 $k$, 試行回数 $n$, 成功確率 $p$, 関数形式)
※関数形式；TRUE→下側累積確率, FALSE→ $P(X=k)$ の値を出力する.
二項分布の理解
二項分布の例
メレ氏の失敗
メレ氏の失敗という $B(24, 1/36)$ の例がある【参考リンク】。
- ベルヌーイ分布の性質を整理する。
- 二項分布の期待値と分散をベルヌーイ分布を使って計算する。
ベルヌーイ分布について
ベルヌーイ分布
ベルヌーイ試行は, 成功確率が $p$ のことを１回だけ行い, 成功したら「1」, 失敗したら「0」とするものです。
この分布がベルヌーイ分布です。
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $p$ | $1-p$ | $1$ |
ベルヌーイ分布の統計量
期待値と分散
$$E(Y)= p, \ V(Y) = p(1-p)$$
証明すること．
期待値は $E(Y)= p$ であり, 分散は $V(Y) = p(1-p)$ である.
証明．
期待値について定義通り計算する.
$\begin{array}{cl}
E(Y) &= \displaystyle 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p.
\end{array}$
分散も定義通り計算する.
$\begin{array}{cl}
V(Y) &= \displaystyle (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p(1-p).
\end{array}$
二項分布について
二項分布の期待値と分散を計算します。
※二項分布（英：Binomial distribution）
二項分布の期待値
二項分布 $B(n,p)$ の期待値
$$E(X)= np$$
証明すること．$X \sim B(n,p)$ のとき, $E(X)= np$ である.
証明．
ベルヌーイ分布の確率変数 $Y_1$, $\ldots$, $Y_n$ の和として, $X=Y_1 + \cdots + Y_n$ を考える. これらの $n$ 個の確率変数は独立である.
各ベルヌーイ試行について, $E(Y_k) = p$, $V(Y_k) = p(1-p)$ であることを利用して, 以下, 二項分布の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を計算する.
❶期待値
$\begin{array}{cl}
E(X) &=& \displaystyle E \left(\sum_{k=1}^{n} X_k \right) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} E(X_k) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} p \\
&=& np
\end{array}$
❷分散
１回のベルヌーイ試行では，$V(X_1)=p(1-p)$ である。
$\begin{array}{cl}
V(X) &=& \displaystyle V \left(\sum_{k=1}^{n} X_k \right) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} V(X_k) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} p(1-p) \\
&=& np(1-p)
\end{array}$
１行目から2行目は確率変数の独立性から成り立つ.
