ベジェ曲線が描かれる仕組み（アルゴリズム）を紹介します。
ベジェ曲線の数式
ベジェ曲線の定義
定義
平面内の点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\ldots$ , $\mathbf{P}_n$ と $0 \leqq t \leqq 1$ について，次の式で表される曲線を $n$次ベジェ曲線という。
$$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$$
３次ベジェ曲線で説明をします。４点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\mathbf{P}_2$, $\mathbf{P}_3$ が制御点に該当します。
ドカステリョのアルゴリズムを数式で表して、ベジェ曲線の方程式を求めます。
ド・カステリョのアルゴリズム
まず、ベジェ曲線が描かれるアルゴリズムの直感的な理解をします。
①制御点の順番を決める
次のベジェ曲線を考えます。アンカーポイントは $\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_3$ が該当します。
制御点の順番を $\mathbf{P}_0$→$\mathbf{P}_1$→$\mathbf{P}_{2}$→$\mathbf{P}_3$ とします。
②同じ比に内分する点の作図
隣り合う制御点を $m:n$ に内分する点を作図します。
今回は、３つの点ができます。
③同じ比に内分する点の作図
いまできた３点について，さらに隣り合う点同士を，また $m:n$ に内分する点を作図します。
今回は、２つの点ができます。
④同じ比に内分する点の作図
いまできた２点について，さらに隣り合う点同士を，また $m:n$ に内分する点を作図します。
この作業を繰り返した結果、１点だけになりました。
この最後の点がベジェ曲線上の点と一致します。
⑤他の点も作図
他の比でも同じ作業をしていって、たくさん点を作ったら、その集まりがベジェ曲線になります。
$m:n = 1:0$ のとき、はじめのアンカーポイントの $\mathrm{P}_0$ です。
$m:n = 0:1$ のとき、ゴールのアンカーポイントの $\mathrm{P}_1$ です。
ベジェ曲線の数学の理解
先の直感的な作図に照らし合わせて、ベジェ曲線の定義式を作っていきましょう。
①図と式を対応させる
$\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_3$ がベジェ曲線の端点（アンカーポイント）になるべき点です。
イラストレータでは、線分 $\mathbf{P}_0 \mathbf{P}_1$ と $\mathbf{P}_3 \mathbf{P}_2$ がハンドルと対応する。
②制御点を結ぶ線分の内分点をつくる
$\mathbf{P}_0$→$\mathbf{P}_1$ と $\mathbf{P}_1$→$\mathbf{P}_2$， $\mathbf{P}_2$→$\mathbf{P}_3$ の間をそれぞれ $m: n = t : 1-t$ に内分する点を $\mathbf{P}_{1,0}(t)$， $\mathbf{P}_{1,1}(t)$，$\mathbf{P}_{1,2}(t)$ とします：
- $\mathbf{P}_{1,0}(t) = (1-t) \mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1$
- $\mathbf{P}_{1,1}(t) = (1-t) \mathbf{P}_1 + t\mathbf{P}_2$
- $\mathbf{P}_{1,2} (t)= (1-t) \mathbf{P}_{2} + t\mathbf{P}_3$
③更に内分点をつくる
いまできた点について，$\mathbf{P}_{1,0}$→$\mathbf{P}_{1,1}$ と $\mathbf{P}_{1,1}$→$\mathbf{P}_{1,2}$ の間をそれぞれ，また $m: n = t : 1-t$ に内分する点を $\mathbf{P}_{2,0}(t), \mathbf{P}_{2,1}(t)$ とします：
- $\mathbf{P}_{2,0}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{1,0} + t\mathbf{P}_{1,1}$
- $\mathbf{P}_{2,1}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{1,1} + t\mathbf{P}_{1,2}$
④もういちど繰り返す
さらに，点$\mathbf{P}_{2,0}(t)$ → $\mathbf{P}_{2,1}(t)$ の間を結んで，また，$m: n = t : 1-t$ に内分する点 $\mathbf{P}(t)$ を決める：
- $\mathbf{P}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{2,0} + t\mathbf{P}_{2,1}$
⑤式を整理する
点 $\mathbf{P}_{2,0}(t)$ と $\mathbf{P}_{2,1}(t)$ は，今までの式を組み合わせると，初めの制御点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\mathbf{P}_2$, $\mathbf{P}_3$ で表すことができる。$\mathbf{P}(t)$ をはじめの制御点で表すと，
$\mathbf{P}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{2,0} + t\mathbf{P}_{2,1}$
$= (1-t)^3 \mathbf{P}_0$ $+3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1$ $+3(1-t) t^2 \mathbf{P}_2$ $+ t^3 \mathbf{P}_3$
$\displaystyle = \sum_{k=0}^{3} {}_3 \mathrm{C}_k \ (1-t)^{3-k} \ t^k \ \mathbf{P}_k$
となる。
実数 $t(0 \leqq 0 \leqq 1)$ を１つ決めて，内分比 $m:n=t:(1-t)$となるように作った点が $\mathrm{P}(t)$ であった。
$t$ を0から1に動かしたときの軌跡である方程式 $\mathrm{P}(t)$ が３次ベジェ曲線である。
⑥一般化する
以上により, 一般の $n$ 次ベジェ曲線の数式は次のとおりである：
$$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$$
