三角比の単元のときの注意点リストを書きました。
特に、相互関係の公式に絞って書いています。
目次
三角比の相互関係の公式
三角比の相互関係の公式は、数学I（三角比）と数学Ⅱ（三角関数）の教科書を合わせると3回同じ式が出てきます。
- $\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
- $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- $\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$
2乗の書き方（教えてもらえない時も）
三角比の２乗（平方）は、通常と書き方が違います。
$\sin A$ の平方のことを $\sin^2 A$ と表記します。$\sin A^2$ とは表記しません。
$$\sin^2 A =( \sin A )^2 = \sin A \times \sin A$$
$\sin$ に2乗を付ける理由は、$\sin A$ を2乗しているのか、$A$ を2乗しているのかを区別するためです。
具体的に見ると、違いがよく分かります。
$\sin^2 25^{\circ} = \sin 25^{\circ} \times \sin 25^{\circ}$ と、
$\sin 25^{\circ} \ {}^2 = \sin 625^{\circ}$ は違います。
シータについて（適当に書かない）
角度を表す記号でシータ $\theta$ が登場します。
シータ $\theta$ はギリシャ文字です。
アルファ $\alpha$ や ベータ $\beta$ の仲間です。（通常使用している、アルファベットの $a$ や $b$ は、ラテン文字（ローマ字）です。）
ギリシャの文字を利用しています。
変数 $\theta$ の意味（大事！）
三角比（三角関数）の変数である $\theta$ の意味は3通りあります。
正確な説明は授業であまりされないかもしれません。
鋭角の角度 $\theta$
鋭角とは $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ の角度のことです。
$\theta$ が鋭角のときは、対応する直角三角形があ流ので、三角形の一つの角度を使いやすいです。
$\theta$ ではなく、三角形の角度を表す $A$ を利用することが多いです。
$0 \sim 180$ 度の角度 $\theta$
0度から180度までの角度のときは、対応する直角三角形が考えられないので、三角形の頂点を表す $A$ などは利用できません。
そこで、$A$ などの記号よりも $\theta$ が好まれて使われます。
弧度としての長さ $\theta$
弧度法（円弧の弧長）のときは、$\theta$ は厳密には長さです。
長さの場合は、よく利用する変数である $x$ を変数として使うことも自然です。
だから、数学Ⅱの三角関数の単元では、$\sin \theta$ や $\sin x$ が両方出てきます。
三角比の相互関係の計算テクニック
公式の使い分け（最も大事！）
相互関係の公式を計算するときの注意点に移ります。
- $\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
- $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- $\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$
公式の番号は、①②③を使います。
そもそも相互関係の公式は、1つの三角比の値が分かっているときに、他の三角比の値を求めるために利用することが大きな役割です。
既知の三角比を１列目に、求めたい三角比を１行目に書きました。
| 求める値→ | $\sin A$ | $\cos A$ | $\tan A$ |
| $\sin A$ | × | まず①を使う | 次に②を使う |
| $\cos A$ | まず①を使う | × | 次に②を使う |
| $\tan A$ | 次に②を使う | まず③を使う | × |
他には、$\cos A$ が分かっているときに、$\tan A$ だけを求める必要があります。この場合は、③の公式だけを利用しましょう。
公式の形の変形（計算しやすく）
相互関係の②の公式は、3つの形に変えられることが大切です。
特に、計算が苦手な方は、知っておいてください！
②の公式は、次の形でした。
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
次の2つの式も同じ公式です。
$$\tan A = \sin A \div \cos A$$
$$\sin A = \tan A \times \cos A$$
$\tan A = \sin A \div \cos A$
公式の一つ目の変形パターンは、$\sin A$ と $\cos A$ から、 $\tan A$ を求める際に便利です。
公式の元の形のままでは、「分数ぶんの分数」になってしまうなることが多く、計算が苦手な人は間違えやすいです。
「分数 $ \div$ 分数」とすれば、後ろの分数をひっくり返して掛け算をすれば良いので、計算が容易になります。
$\sin A = \tan A \times \cos A$
公式の二つ目の変形パターンは、$\tan A$ と $\cos A$ から、$\sin A$ を求める際に便利です。
2つの三角比を掛けるだけで、$\sin A$ を求められるので考えやすいです。
以上、相互関係の公式②について、計算がしやすい表記を紹介しました。
その他の注意点
三角比の相互関係の公式は、慣れると機械的に計算できます。
しかし、初めて学ぶときには、ややこしい表記や計算が混在しています。
学ぶ方も、教える方も忘れずにしないといけないことを整理しました。
あと、今回は書きませんでしたが、苦手な方は、次の２点も知っておくと苦手が解消されると思います。
$\cos A$ が分数のときの $1/\cos^2 A$の計算
$\cos A$ が分数である場合が多いです。③の公式を利用するとき、$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}$ の計算をどうするかは、苦手な方は知っておく必要があります。
平方根をとるときの三角比の正負
角度 $\theta$ の存在範囲によって、$\sin^2 A$ から２乗を外して $\pm \sin A$ にしたとき、正負のどちらを選ぶかを決める必要があります。
これらの２点は、今回は割愛しました。すみません。
