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数学のまとめノート
「ベクトル方程式」とは
位置ベクトルが存在する範囲で図形を表すこと。
存在範囲
始点が $\mathrm{O}$ である一次独立なベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$, 実数 $s$ と $t$ について, $\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$ が表す点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ の存在範囲は次の通り;
- $s, t \in \mathbb{R}$ の条件のみならば $\mathrm{P}(\vec{p})$ は平面全体を動く.
- $s+t=1$ ならば $\mathrm{P}(\vec{p})$ は直線 $\mathrm{A} \mathrm{B}$ 上を動く.
- $s+t=1$ かつ $0 \leqq s, t \leqq 1$ ならば $\mathrm{P}(\vec{p})$ は線分 $\mathrm{A} \mathrm{B}$ 上を動く.
- $0 \leqq s+t \leqq 1$ かつ $0 \leqq s \leqq 1$, $0 \leqq t \leqq 1$ ならば $\mathrm{P}(\vec{p})$ は三角形 $\mathrm{O}\mathrm{A} \mathrm{B}$ の周上および内部を動く.
ただし, $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$ は位置ベクトルが表す点である.
A. 直線のベクトル方程式
- 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線: $\vec{p} = (1-t) \vec{a} + t \vec{b}$, $t \in \mathbb{R}$ .
- 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り, 方向が $\vec{d}$ の直線: $\vec{p} = \vec{a} + t \vec{d}$, $t \in \mathbb{R}$.
- 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り, $\vec{n}$ に直交する直線: $\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})=0$.
B. 円のベクトル方程式
- 円の中心が点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ で半径が $r$ の円: $|\vec{p} - \vec{a}| = r$.
- 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を 直径の両端とする円: $(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0$.
ポイント解説
存在範囲(2)
下の図の橙部である：
存在範囲(4)
下の図の橙部である：
A
それぞれの式の図は次の通り;
B
それぞれの式の図は次の通り;
