正規分布の確率密度関数について証明で確かめることことが目標です。
命題:
$m \in \mathbb{R}$, $\sigma>0$ としたとき, 次の関数 $f(x)$ は確率密度関数である.
$$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$$
この確率密度関数から定義される確率分布は正規分布 $N(m, \sigma^2)$ である.
正規分布の確率密度関数の証明
【前提】確率密度関数について
関数 $f(x)$ が確率密度関数であるとは、次の３条件を満たすことをいう：
- $f(x) \geqq 0$
- $\displaystyle P(a \leqq X \leqq b) = \int_a^b f(x) dx$
- $\displaystyle \int_a^b f(x) dx=1$
【仮定】ガウス積分について
今回は次の基本的なガウス積分の公式を仮定します。
補題（ガウス積分）:
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$$
正規分布の確率密度関数の証明
下記の関数 $f(x)$ が確率密度関数であることを示します。
確率密度関数の定義の❶は自明です。定義の❷は、そのように確率 $P$ を定めればよいので、証明する必要はありません。
定義の❸にある、確率密度関数の積分が1であることを示しましょう。
証明すること．
次の関数 $f(x)$ について, $\displaystyle \int_a^b f(x) dx=1$ が成り立つ.
$$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$$
ただし, $m \in \mathbb{R}$, $\sigma>0$ である.
証明．
被積分関数の変数変換
計算する積分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx$ について , $\displaystyle t = \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}$ と変数変換をする. このとき, $-\infty < t < \infty$ であり, $dt = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \sigma}dx$ である.
ガウス積分に帰着する計算
変数変換をして計算をします;
$\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx & \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx \\
& \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\left( \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma} \right)^2} dx \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-t^2}( \sqrt{2} \sigma) dt \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} \\
& = 1. \\
\end{array}$
以上で, 積分の値が $1$ であることが分かった. ■
このようにして、関数 $f(x)$ が確率密度関数だと証明できました。
この確率密度関数が作る確率分布が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ です。
