ベルヌーイ分布 $B(1, p)$ をもとに、二項分布 $B(n,p)$ の期待値と分散を計算します。
$0 \leqq p \leqq1$ は成功確率で、$n$ は試行回数です。
トピック:
- 確率変数 $Y$ は, ベルヌーイ分布に従うとする. 期待値は $E[Y]= p$ であり, 分散は $V[Y] = p(1-p)$ である.
- 確率変数 $X$ は, 二項分布 $B(n, p)$ に従うとする. 期待値は $E[X]= np$ であり, 分散は $V[X] = np(1-p)$ である.
ベルヌーイ分布の理解
ベルヌーイ分布
ベルヌーイ分布は $B(1, p)$ という記号で表します。
ベルヌーイ試行は, 成功確率が $p$ である試行を１回だけ行い, 成功したら「1」, 失敗したら「0」と定めるものです。
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $p$ | $1-p$ | $1$ |
この分布がベルヌーイ分布です。なお、ベルヌーイ試行の確率変数を $Y$ としました。
ベルヌーイ分布の統計量
ベルヌーイ分布も確率分布なので、期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$（・標準偏差 $\sigma[Y]$ ）が計算できます。
証明すること．
確率変数 $Y$ は, ベルヌーイ分布に従うとする. 期待値は $E[Y]= p$ であり, 分散は $V[Y] = p(1-p)$ である.
証明．
ベルヌーイ分布の期待値
期待値について定義通り計算する:
$\begin{array}{ccl}
E[Y] &=& \displaystyle 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\
&=& \displaystyle p.
\end{array}$
ベルヌーイ分布の分散
分散も定義通り計算する.
$\begin{array}{ccl}
V[Y] &=& \displaystyle (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) \\
&=& \displaystyle p(1-p).
\end{array}$
以上で, ベルヌーイ分布の期待値と分散が計算できた. ■
二項分布の理解
二項分布は $B(n, p)$ という記号で表します。成功確率が $p$ の同じ独立な試行を $n$ 回行ったときに $r$ 回成功するときの確率 ${}_n \mathrm{C}_rp^r(1-p)^{n-r}$ にもとづく分布です。
簡単に言えば、ベルヌーイ試行を何回も行った時の分布が二項分布です。
※二項分布（英：Binomial distribution）
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数を $X$ とします。
確率変数の関係
もっとも重要なポイントは、二項分布に従う確率変数 $X$ は、$n$ 個のベルヌーイ分布に従う確率変数 $Y_1$, $\ldots$, $Y_n$ の和で表せるということです。
$$X = Y_1 + \cdots + Y_n$$
例えば、$n$ 回すべて成功したとすると、左辺については $X=n$ です。右辺は $Y_1 = 1$, $\cdots$, $Y_n = 1$ なので、$Y_1 + \cdots + Y_n = 1 + \cdots + 1=n$ です。左辺も右辺も成功回数を算出してくれます。
二項分布の統計量
まずは二項分布の期待値 $E[X]$ を計算します。
証明すること．
確率変数 $X$ は, 二項分布 $B(n, p)$ に従うとする. 期待値は $E[X]= np$ であり, 分散は $V[X] = np(1-p)$ である.
証明．
ベルヌーイ分布に従う独立な $n$ 個の確率変数 $Y_1$, $\ldots$, $Y_n$ をとる.
このとき, $X = Y_1 + \cdots + Y_n$ が成り立つ. 任意の添え字 $1 \leqq i \leqq n$ について, $E[Y_i] = p$, $V[Y_i] = 1-p$ である.
二項分布の期待値
期待値の性質を利用して計算する:
$\begin{array}{cl}
E(X) &=& \displaystyle E \left[ \sum_{i=1}^{n} Y_i \right] \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} E[Y_i] \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p \\
&=& np.
\end{array}$
二項分布の分散
分散の性質を利用しながら, 計算する. 分散については確率変数 $A$ と $B$ について, これらが独立ならば $V[A+B]=V[A]+V[B]$ が成り立つ.
$\begin{array}{cl}
V(X) &=& \displaystyle V \left[\sum_{i=1}^{n} Y_i \right] \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} V[Y_i] \\
&=& \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p(1-p) \\
&=& np(1-p).
\end{array}$
以上で, 二項分布の期待値と分散が計算できた. ■
