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「方べきの定理」とは
円周上にある４点と他の１点について成り立つ定理のこと。
点の方べき
中心が $\mathrm{O}$ で半径 $r$ の円がある. 平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ について,
$\Pi(\mathrm{P}) = \mathrm{PO}^2-r^2$
と定め, これを点 $\mathrm{P}$ の方べきと呼ぶ.
方べきの性質
円周上にない点 $\mathrm{P}$ を通る直線が円と点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ で交わっている. このとき,
$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB} = |\Pi(\mathrm{P})|$
が成り立つ.
A. 方べきの定理
円周上にない点 $\mathrm{P}$ を通る2本の直線が点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{C}$ と $\mathrm{D}$ で円とそれぞれ交わるとする. このとき, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$ が成立.
B. 方べきの定理（接線）
円の外部の点 $\mathrm{P}$ を通る2本の直線について, 一方が円と点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ で交わり, 他方が円と点 $\mathrm{T}$ と接する. このとき, $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ が成り立つ.
C. 方べきの定理の逆
4点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ について, 直線 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わるとする. 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ と 線分 $\mathrm{CD}$ のそれぞれの内部か, それぞれの外部にあるとする. このとき, $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ ならば 4点は同一円周上に存在する.
ポイント解説
A
$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB} = |\Pi(\mathrm{P})| = \mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$
B
$\mathrm{PT}^2=\Pi(\mathrm{P})$ でもある.
C
仮定から$\triangle \mathrm{PAB}$ ∽ $\triangle \mathrm{PCD}$が成立. 円周角の定理の逆から結論が従う.
Bの方べきの定理の逆
線分$\mathrm{AB}$の延長線上の点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$上にない点 $\mathrm{T}$が $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ を満たすならば, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{T}$がつくる円に直線$\mathrm{PT}$は接する.
原論
第３巻命題34
