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「円周角の定理」とは
円周角や中心角の大きさに関して成り立つ定理のこと。
円周角
円の弧 $\stackrel{\frown}{\mathrm{AB}}$ と円周上の点 $\mathrm{P}$ について $\angle\mathrm{APB}$ が円周角に該当
中心角
円の弧 $\stackrel{\frown}{\mathrm{AB}}$ と円の中心 $\mathrm{O}$ について $\angle \mathrm{AOB}$ が中心角に該当
A. 円周角の定理
① 円周角の大きさは, 同じ弧に対する中心角の大きさの半分である.
② 同じ弧に対する円周角の大きさは常に等しい.
B. タレスの定理（Aの系）
直径に対する円周角は必ず直角である.
C. アルハゼンの定理
円の外部で交わる2直線が円とそれぞれ2点で交わるとする. この2直線が円外で作る角は2つの円周角の差であり, 円内で作る角は2つの円周角の和である. ［該当図参照］
D. 円周角の定理の逆
4点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ について, 点 $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AB}$ の同じ側にあるとする. $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$ ならば, この4点は同一円周上に存在する.
ポイント解説
A
①次図から従う. ②は①から分かる.
C
［参考図］次の図に該当する：
D
点 $\mathrm{Q}$ が3点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{P}$ が作る円の,
内部 $\Leftrightarrow$ $\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}$
,
外部 $\Leftrightarrow$ $\angle \mathrm{APB} > \angle \mathrm{AQB}$
が成立するので従う.
原論
第３巻命題20, 21
