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「微分」とは
関数の微小な変化による増減の値（瞬間変化率）を求めること。
微分
関数 $f(x)$ について,
$\displaystyle f'(a) =\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
が存在するとき, $x=a$ における $f(x)$ の微分係数という. 微分係数に対応させる関数を導関数といい
$f^{\prime}(x)$
とかく. この計算・計算結果を微分とよぶ.
意味
微分係数 $f'(a)$ は $y=f(x)$ の $x=a$ での接線の傾きである.
A. 微分の性質
- $\{kf(x) \pm \ell g(x)\}' = kf'(x) \pm \ell g'(x)$［線形性］
- $\{f(x) g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$［積の微分(Leibniz rule)］
- $\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$［商の微分］
- $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$［合成関数の微分］
B. 関数の増減
- ある区間で常に $f'(x) > 0$（$f'(x)<0$）ならば, $y=f(x)$ は単調増加（減少）である
- $f'(a)=0$ であり, $x=a$ の前後で $f'(x)$ の符号が正→負（負→正）に変わるとき, $x=a$ で $y=f(x)$ は極大値（極小値）をとる
ポイント解説
応用
微分は運動の瞬間速度に対応する；
記号
微分は $f'$, $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{dx}}$, $\dot{f}$ 等と表記する
多項式の微分（例）
$c$ は定数とする。
- $(c)' = 0$ e.g. $(1)' = 0$
- $(x)'=1$, $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$
- $(x^n)'=nx^{n-1}$ ($n$ は自然数)
接線
$y-f(a) = f'(a)(x-a)$ が接線の方程式である。
B例
$f(x)=x^3-3x$ の増減を表す：
発展
微分の厳密な定義は
$\epsilon - \delta$ 論法
による; (例) $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta>0$ s.t. $\forall x$, $|x-a| < \delta$ $\Rightarrow$ $|\frac{f(x) - f(a)}{x-a} - f^{\prime}(a)| < \epsilon$
