銀行預金は、複利なので、数学の理屈をかみ砕いて説明しました。
数学解説動画
預けっぱなしの複利法の公式
問．はじめだけお金を預けて、寝かせっぱなしにしたとき、○○年後には預金額（元利合計額）はいくらになっているか？
複利式の金利計算（導出）
複利式の金利は「残高 × 利率」で計算できます！
例えば、10万円が残高のとき、利率が 0.01（1%）のとき、
- 10万円 × 0,01 = 1,000円 【金利】
- 10万円 + 1,000円 【元利合計額】
ということです。
もしくは、
- 10万円 × 1.01 = 101,000円 【元利合計額】
でスグに計算OKです！
コツコツ計算【30年後の積立額は？】
問．毎年おなじ金額だけお金を預けて、積み立て貯金をしたとき、○○年後には預金額（元利合計額）はいくらになっているか？
積立貯金の計算の仕方
利率は１％（0.01）で、はじめに10万円預けたとします。
来年度は、さきほど計算したように、10万1千円です。
- 10万円 × 1.01 = 101,000円 【１年後利子付き】
積み立てなので、また10万円を預けます。
- 10万1千円 + 10万円 = 201,000円 【１年後利子+積立込】
これで１年目の預金額が計算できました。
２年目に話を進めます。
２年目は、今の残高（20万1千円）に利子が付くので、
- 20万1千円 × 1.01 = 203,010円 【２年後利子付き】
ここで積み立て金の１０万円を預けます。
- 20万1100円 + 10万円 = 301,100円 【２年後利子+積立込】
これで２年目の預金額が計算できました。
で、30年後まで計算したければ、この計算を３０回繰り返していくわけですね。。。
ムリっ！
ポイント【なんだ天才じゃん！】
残高から、金利を計算して、積み立てて、
その残高から、また金利を計算して、積み立てて、
って計算を先ほどコツコツしました。
少し発想の転換をします。
「一人が毎年コツコツ積み立てる」
から
「毎年、別々の人が同じ口座に同じ額を振り込む」
と考えてみる
→ 銀行の立場から見ると同じことですね！（現実ではしちゃダメ！）
30年間続けてみよう。
【１人目の気持ち】
「10万円あずけた。」
「30年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【元利合計額】
【2人目の気持ち（1年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「29年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【元利合計額】
【3人目の気持ち（2年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「28年後どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【元利合計額】
・・・
【30人目の気持ち（29年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「来年どうなってるのかな？」
→ 10万円 × $1.01$ 【元利合計額】
【31人目の気持ち（30年後に預ける人）】
「10万円あずけた。」
「俺が預けて終わりだ！」
→ 10万円 のまま 【元利合計額】
全員の【元利合計額】の合計が銀行に預けた30年後のトータルの金額ですね。
- 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【初代】 + 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【二代目】+ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【三代目】+ ・・・+10万円 × $1.01$ 【三十代目】+10万円 【三十一代目】
$b = r + 1 = 1.01$ とだけ置き換えてあげます。
- 10万円 × $b^{30}$ + 10万円 × $b^{29}$ + 10万円 × $b^{28}$ + ・・・+10万円 × $b$ +10万円
ややこしい計算ですが、実は、この計算はスッキリな形にできることが知られています。
高校生向け；
初項 $a=$10万, 公比 $b=1.01$, の等比数列の初項から第31項目までの和
$$\sum_{n=1}^{n=31}ab^n = a\frac{b^{31}-1}{b-1}$$
大人の皆さんは、次のことでイメージだけを持つことができます！
本当に理解する場合は、【高校生向け】のところに書いたことの勉強・必です。
大人向け；
分配法則の $(b + 1)(b - 1) = b^2 - 1$ って式は覚えていますか？【中１】
「ｂ＋１」「ｂ－１」＝「$b^2$-1」って式は、
$$b + 1 = \frac{b^2 - 1}{b-1}$$
とできます。
同様に、$(b^2 + b + 1)(b - 1) = b^3 - 1$ って式もあります。
「$b^2 + b + 1$」「ｂ－１」＝「$b^3$-1」って式は、
$$b^2 + b + 1 = \frac{b^3 - 1}{b-1}$$
同じように、
$$b^{31} + ・・・ + b + 1 = \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$
って感じです。これに「10万円」が前につきます。
まとめ!
30年後の元利合計額（30人が別々に預けた金額の合計額）は、
$$100,000 \times \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$
数学の公式は、次の形をしている。
$$\frac{a(b^{n+1} - 1)}{b-1}$$
10秒チェックテスト
最後にチェックテストをしてみましょう。
