- まとめ
- 表紙
- ①理解
「二項分布」とは
硬貨を何枚か同時に投げて表が出る回数の確率分布のこと。
記号
試行回数 $n$, 確率 $p$ の二項分布を $B(n, p)$ と書く.
A. 確率分布
$$P(X=x) = {}_n \mathrm{C}_k \cdot p^x (1-p)^{n-p}$$
B. 期待値と分散
- $E(X) = np$
- $V(X) =np(1-p)$
C. ベルヌーイ分布
| $X_k$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $p$ | $1-p$ | $1$ |
ベルヌーイ試行の繰り返し $X_1 + \cdots + X_k$ は $B(n,p)$ になる.
ポイント解説
A
$0 \sim n$ の範囲で, $np$ 周辺でピークの山型の確率分布になります。
B
Aの確率分布から直接示す方法と, Cのベルヌーイ分布から示す方法があります。
C
各試行では0か1が出るかです。1が出た回数を総計したものが, 二項分布と同義です。
例
メレ氏の失敗という $B(24, 1/36)$ の例がある【参考リンク】。
★各詳細は今後書いていきます。
二項分布の理解
- ベルヌーイ分布の性質を整理する。
- 二項分布の期待値と分散をベルヌーイ分布を使って計算する。
ベルヌーイ分布について
ベルヌーイ分布
ベルヌーイ試行は, 成功確率が $p$ のことを１回だけ行い, 成功したら「1」, 失敗したら「0」とするものです。
この分布がベルヌーイ分布です。
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $p$ | $1-p$ | $1$ |
ベルヌーイ分布の統計量
期待値と分散
$$E(Y)= p, \ V(Y) = p(1-p)$$
証明すること．
期待値は $E(Y)= p$ であり, 分散は $V(Y) = p(1-p)$ である.
証明．
期待値について定義通り計算する.
$\begin{array}{cl}
E(Y) &= \displaystyle 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p.
\end{array}$
分散も定義通り計算する.
$\begin{array}{cl}
V(Y) &= \displaystyle (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p(1-p).
\end{array}$
二項分布について
二項分布の期待値と分散を計算します。
※二項分布（英：Binomial distribution）
二項分布の期待値
二項分布 $B(n,p)$ の期待値
$$E(X)= np$$
証明すること．$X \sim B(n,p)$ のとき, $E(X)= np$ である.
証明．
ベルヌーイ分布の確率変数 $Y_1$, $\ldots$, $Y_n$ の和として, $X=Y_1 + \cdots + Y_n$ を考える. これらの $n$ 個の確率変数は独立である.
各ベルヌーイ試行について, $E(Y_k) = p$, $V(Y_k) = p(1-p)$ であることを利用して, 以下, 二項分布の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を計算する.
❶期待値
$\begin{array}{cl}
E(X) &=& \displaystyle E \left(\sum_{k=1}^{n} X_k \right) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} E(X_k) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} p \\
&=& np
\end{array}$
❷分散
１回のベルヌーイ試行では，$V(X_1)=p(1-p)$ である。
$\begin{array}{cl}
V(X) &=& \displaystyle V \left(\sum_{k=1}^{n} X_k \right) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} V(X_k) \\
&=& \displaystyle \sum_{k=1}^{n} p(1-p) \\
&=& np(1-p)
\end{array}$
１行目から2行目は確率変数の独立性から成り立つ.
