- まとめ
- 表紙
- ①理解
「同時確率分布」とは
２つの変数によって定まる確率分布のこと。
| ($X$,$Y$) | $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $\cdots$ | $p_{1m}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $\cdots$ | $p_{2m}$ | $p_2$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}$ | $p_{n2}$ | $\cdots$ | $p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
定義
$\forall i, j$, $p_i q_j = p_{ij}$ が成り立つとき，$X$ と $Y$ は独立という.
A. 期待値の性質
- $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$（いつでも成立）
- $E(XY) = E(X)E(Y)$（独立なとき成立）
B. 分散の性質
- $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$（独立なとき成立）
- $V(XY)=V(X)V(Y)$（？？）
ポイント解説
記号
$P(X=x_i, Y=y_j) = p_{ij}$ 等と書きます。
同時確率分布から導かれる次の２つは確率変数になります。
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
| $Y$ | $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $P$ | $q_1$ | $q_2$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
イメージ
確率分布に比例関係が認められるものが独立です。
★それぞれの詳細は今後書いていきます。
独立性と統計量の関係
独立性と期待値の関係
☆ 期待値について次式が成り立つ：
・$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
・$E(XY) = E(X)E(Y)$（独立なとき）
| $y_1$ | $y_2$ | 計 | |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
確率変数の和の期待値
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
※確率変数 $X+Y$ は，２次元の確率分布から，１つの実数値を返す関数と理解できる。
$$\begin{array}{cl}
E(X+Y) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i + y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i p_{ij} + y_j p_{ij}) \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i \sum_{j = 1}^{m} p_{ij} + \sum_{j = 1}^{m} y_j \sum_{i = 1}^{n} p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i + \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \\
&=& \displaystyle E(X) + E(Y) \\
\end{array}
$$
確率変数の積の期待値
$X$ と $Y$ が独立であるとき，次の計算ができる。
$$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$
$$\begin{array}{cl}
E(XY) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j) (p_{i} q_{j}) \\
&=& \displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \right) \\
&=& \displaystyle E(X) \cdot E(Y) \\
\end{array}
$$
独立性と分散の関係
☆ 分散について次式が成り立つ：
・$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$（独立なとき）
| $y_1$ | $y_2$ | 計 | |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
確率変数の和の分散
$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$
※確率変数 $X+Y$ は，２次元の確率分布から，１つの実数値を返す関数と理解できる。
$$\begin{array}{cl}
V(X + Y) &=& E(((X+Y)-(m_x+m_y))^2) \\
&=& E(((X -m_x) +(Y-m_y))^2) \\
&=& E((X -m_x)^2 +(Y-m_y)^2 + (X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& E((X -m_x)^2) +E((Y-m_y)^2) + E((X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& V(X) +V(Y) + E((X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& V(X) +V(Y) + E(XY)-m_xE(Y)-m_yE(X) + E(m_xm_y) \\
&=& V(X) +V(Y) + m_xm_y-m_xm_y-m_ym_x + m_xm_y \\
&=& V(X) +V(Y)
\end{array}
$$
