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数学のまとめ
「同時確率分布」とは
２つの変数によって確率が決定する確率分布のこと。
定義
確率変数 $(X, Y)$ で確率を定める.
$P((X,Y)=(x_i, y_j)) = p_{ij}$
と表記する.
$p_i = p_{i1} + \cdots + p_{im}$
,
$q_j = q_{1j} + \cdots + q_{nj}$
である.
| ($X$,$Y$) | $y_1$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1m}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}$ | $\cdots$ | $p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
定義
すべての $i$ と $j$ で
$p_i q_j = p_{ij}$
のとき，$X$ と $Y$ は独立という.
A. 確率変数の和と積の期待値
- $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$（いつでも成立）
- $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$（独立なとき成立）
B. 確率変数の和と積の分散（独立なとき）
- $V[X+Y] = V[X] + V[Y]$
- $V[XY]=V[X] \cdot V[Y] + (E[X])^2 \cdot V[Y] + V[X] \cdot (E[Y]^2)$
ポイント解説
定義
$X$ と $Y$ は確率変数になる：
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| $P(X)$ | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
| $Y$ | $y_1$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $P(Y)$ | $q_1$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
独立
確率分布に比例関係が観察できる.
※同じ確率変数 $X$ と $ X$ は独立でない.
A
次を計算することで導ける：
- $E[X+Y]=\sum_{i,j=1}^n (x_i+y_j)p_{ij}$
- $E[XY]=\sum_{i,j=1}^n (x_iy_j)p_{ij}$
B
次を計算することで導ける：
- $E[(X+Y)^2]-E[X+Y]^2$
- $E[(XY)^2]-E[XY]^2$
独立性と統計量の関係
独立性と期待値の関係
☆ 期待値について次式が成り立つ：
・$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
・$E(XY) = E(X)E(Y)$（独立なとき）
| $y_1$ | $y_2$ | 計 | |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
確率変数の和の期待値
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
※確率変数 $X+Y$ は，２次元の確率分布から，１つの実数値を返す関数と理解できる。
$$\begin{array}{cl}
E(X+Y) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i + y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i p_{ij} + y_j p_{ij}) \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i \sum_{j = 1}^{m} p_{ij} + \sum_{j = 1}^{m} y_j \sum_{i = 1}^{n} p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i + \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \\
&=& \displaystyle E(X) + E(Y) \\
\end{array}
$$
確率変数の積の期待値
$X$ と $Y$ が独立であるとき，次の計算ができる。
$$E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$$
$$\begin{array}{cl}
E(XY) &=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j)p_{ij} \\
&=& \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} (x_i y_j) (p_{i} q_{j}) \\
&=& \displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{n} x_i p_i \right) \cdot \left( \sum_{j = 1}^{m} y_j q_j \right) \\
&=& \displaystyle E(X) \cdot E(Y) \\
\end{array}
$$
独立性と分散の関係
☆ 分散について次式が成り立つ：
・$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$（独立なとき）
| $y_1$ | $y_2$ | 計 | |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
確率変数の和の分散
$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$
※確率変数 $X+Y$ は，２次元の確率分布から，１つの実数値を返す関数と理解できる。
$$\begin{array}{cl}
V(X + Y) &=& E(((X+Y)-(m_x+m_y))^2) \\
&=& E(((X -m_x) +(Y-m_y))^2) \\
&=& E((X -m_x)^2 +(Y-m_y)^2 + (X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& E((X -m_x)^2) +E((Y-m_y)^2) + E((X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& V(X) +V(Y) + E((X-m_x)(Y-m_y)) \\
&=& V(X) +V(Y) + E(XY)-m_xE(Y)-m_yE(X) + E(m_xm_y) \\
&=& V(X) +V(Y) + m_xm_y-m_xm_y-m_ym_x + m_xm_y \\
&=& V(X) +V(Y)
\end{array}
$$
