- 表紙
- まとめ
- 具体例
「数列の和」とは
ある規則で並んだ数を足し合わせること。
記号
数列の和 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ を $\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$ と記す.
A. 数列 $\{n^p\}_n$ の和
- 数列 $\{ n \}_n$ の和は, $1+ 2+ \cdots + n = $ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$
- 数列 $\{ n^2 \}_n$ の和は, $1^2+ 2^2+ \cdots + n^2 = $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
- 数列 $\{ n^3 \}_n$ の和は, $1^3+ 2^3+ \cdots + n^3 = $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3 = \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$
B. 等比数列 $\{a r^{n-1}\}_n$ の和 $(r \neq 1)$
初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の和は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n a r^{n-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$.
C. 和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を導く式
$a_1 = S_1$ である. $n \geqq 2$ のとき, $a_n = S_n - S_{n-1}$.
ポイント解説
定数列
$\{ c \}_n$ の和は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = nc$ .
参考(望遠鏡和)
「「項の差」の和」の計算は, 末項と初項の差になる。$$\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k) = a_{n+1} - a_1$$
A
数列 $\{ n^p \}_n$ の和は, 二項定理 $$\begin{array}{l}
(k+1)^{p+1} -k^{p+1} \\
= {}_{p+1}\mathrm{C}_{1} k^p + {}_{p+1}\mathrm{C}_{2} k^{p-1}+\cdots +1
\end{array}$$ の 両辺それぞれで, $\sum_{k=1}^n$ を計算することで求める。左辺は, $(n+1)^{p+1}-1$ となり, 右辺は, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^p$, $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^{p-1}$, $\cdots$ で表される。帰納的に, 数列 $\{ n^p \}_n$ の和の式が分かる。
C
初期値 $a_1$ に注意する。
例：$S_n=n^2+1$ は, $S_n-S_{n-1}$ $=$ $2n-1$ です。$a_n$ $=$ $2n-1$ とすると, $a_1$ $=$ $1$ です。一方で $S_1$ $=$ $2$ です。
具体例
自然数の和
$1 \sim 100$ の和
$\displaystyle 1 + 2 +\cdots + 99+ 100 = 5050$
奇数の和
$\displaystyle 1 + 3 +\cdots + (2n-1) = n^2$
偶数の和
$\displaystyle 2 + 4 +\cdots + 2n = n^2+n$
望遠鏡和
部分分数分解
$$\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)} =1 - \frac{1}{n+1}$$
分母の実数化
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ $=\displaystyle \sqrt{n+1}-1$
不思議な足し算
和が $\pi$
$\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots =\frac{\pi}{4}$
和がログ
$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\log 2$
和がサイン
$\displaystyle 1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\cdots =\sin 1$
和がコサイン
$\displaystyle 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\cdots =\cos 1$
和が $e$
$\displaystyle 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots =e$
バーゼル問題
$\displaystyle {1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} +\cdots =\frac{\pi^2}{6}$
ただし, $p>1$.
