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- 具体例
数学のまとめ
「正規分布」とは
実験や製造などの誤差がつくる自然な確率分布のこと。
確率密度関数
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$（$m \in \mathbb{R}$, $\sigma>0$）
A. 期待値 $E(X)$と分散 $V(X)$
正規分布に従う確率変数 $X$ について, $E(X) = m$, $V(X) = \sigma^2$.
記号
平均値 $m$, 標準偏差 $\sigma$ の
正規分布を $N(m, \sigma^2)$
と書く.
B. 正規分布の再帰性
独立な確率変数 $X$ と $Y$ が $N(m_1, \sigma_1^2)$ と $N(m_2, \sigma_2^2)$ にそれぞれ従うとき, $X + Y$ は正規分布 $N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ に従う.
C. 標準化（変数変換）
$N(m,\sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, 確率変数 $Z=\frac{X-m}{\sigma}$ は 標準正規分布 $N(0,1^2)$ に従う.
D. 性質（確率の目安）
正規分布では, $m \pm 1\sigma$ では約$68 \%$, $m \pm 2\sigma$ では約$95 \%$, $m \pm 3\sigma$ では約$99 \%$の確率に対応する.
ポイント解説
正規分布は
ガウス分布
とも呼ばれ、グラフは
ベルカーブ
,
釣鐘型
と呼ばれる.
標準正規分布
$N(0,1^2)$ のこと：$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$$
確率密度関数
次を満たす $f(x)$ のこと:
- $0 \leqq f(x)$
- $P(a \leqq X \leqq b) = \int_a^b f(x) dx$
- $\int_a^b f(x) dx=1$
※正規分布の場合, (3)はガウス積分の等式 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$ から導ける.
B
C
確率密度関数を計算する.
D
$m-n \sigma \leqq X \leqq m+n\sigma$ の範囲を $m \pm n \sigma$ と略記している.
Excel
4つの引数を入力；
NORM.DIST(データ範囲, 平均値, 標準偏差, 関数形式)
※関数形式；TRUE→下側累積確率, FALSE→確率密度関数の値を出力する.
正規分布の具体例
正規分布の例
偏差値
$N(50,10^2)$
パスタ
パスタを半分に折る
（参考：青山学院大学寺尾先生HP）
人時計
心で数を数える
ゴルトンボード
二項分布が正規分布に近似できるか検証してみた【Python】
Pythonでグラフを作成することで、試行回数を大きくしたとき二項分布は正規分布に近づいていくのか検証してみました。 二項分布のヒストグラムと正規分布のグラフを重ねて…
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確率密度関数であることを示す。必要条件としての積分が1であることを示す。
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx=1$$
基本的なガウス積分の公式を仮定します。
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dx=\sqrt{\pi}$$
証明．
被積分関数について, 変数変換 $\displaystyle t = \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma}$ をする. $dt = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} \sigma}dx$ である.
$\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx & \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx \\
& \displaystyle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\left( \frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma} \right)^2} dx \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-t^2}( \sqrt{2} \sigma) dt \\
& \displaystyle= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt \\
& \displaystyle= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \sqrt{\pi} \\
& = 1. \\
\end{array}$
