- まとめ
- 具体例
「等差数列」とは
隣り合う数の差がいつも等しい数列のこと。
定義
任意の $n$ について,
$a_{n+2} - a_{n+1} =a_{n+1} - a_n$
が成り立つ.
漸化式
公差を $d$ とおくと, $a_{n+1} - a_n = d$ が得られる.
A. 等差数列の一般項
$a_n = a_1 +(n-1)d$
B. 等差数列の和の公式
$\begin{array}{rl}
S_n & \displaystyle =\frac{1}{2}n (a_1 + a_n) \\
&\displaystyle =\frac{1}{2}n \{ 2a_1+(n-1)d \}
\end{array}$
C. 等差中項の関係
実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等差数列である $\Leftrightarrow$ $2b = a+c$.
ポイント解説
例
$1$, $2$, $3$, $4$, $\cdots$（自然数）
・漸化式：$a_{n+1} - a_n = 1$
・一般項：$a_n = n$
・和の式：$S_n = \frac{1}{2}n(n+1)$
例
$1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $\cdots$（奇数）
・漸化式：$a_{n+1} - a_n = 2$
・一般項：$a_n = 2n-1$
・和の式：$S_n = n^2$
B
数列の初項を $a$, 末項を $a_n$ とると, 数列の和は $S= \frac{1}{2}n(a+a_n)$ で分かる。末項を $a_n = a_1 +(n-1)d$ とすればBの下式が得られる。
C
等差数列の定義式 $c-b=b-a$ を言い換えただけである。
具体例
等差数列
自然数
$\displaystyle 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \cdots$
奇数
$\displaystyle 1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \cdots$
偶数
$\displaystyle 2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10, \cdots $
分母が同じ有理数
$\displaystyle 0, \ \frac{1}{m}, \ \frac{2}{m}, \ \frac{3}{m}, \ \frac{4}{m}, \cdots , \ \frac{m-1}{m}, \ 1$
関係する数列
導出
一般項の導出①（植木算）
植木算の考え方を使う.
$a_n$ は，初項 $a_1$ に 公差を $(n-1)$ 回加えれば良いので，
$$a_n = a_1 +(n-1)d$$
になります。
一般項の導出②（漸化式）
各段階の漸化式を使う
$$\begin{array}{rrrrrc}
&a_n & - & a_{n-1} & = & d\\
&a_{n-1} & - & a_{n-2} & = & d \\
& &\vdots & & & \vdots \\
&a_3 & - & a_2 & = & d \\
+\large{)}&a_2& - & a_1 & = & d \\ \hline
& a_n & - & a_1 & = & (n-1)d
\end{array}$$
等差数列の和の公式
等差数列を初項から最後の項まで足した和を $S$ とします。
$$\begin{array}{rrrcccccc}
& S & = & a_1 &+& a_2 &+ \cdots +& a_{n-1} &+& a_n \\
+\large{)} & S & = & a_n &+& a_{n-1} &+ \cdots +& a_2 &+& a_1 \\
\hline
& 2S & = & a_1 + a_n & + & a_1 + a_n & + & \cdots & + & a_1 + a_n
\end{array}$$
この筆算の結果を集計すると，和の公式を得ます。
