絶対値について

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数学のまとめノート

「絶対値」とは

数から符号や向きの情報を除いた大きさ（量）のこと。

定義

実数 $x$ の絶対値 $| x |$ は次の通り：

$| x | = {\begin{array}{cl} x & (x ≧ 0) \\ - x & (x < 0) \end{array}$

A. 絶対値をはずす操作

実数 $x$ と正の定数 $c$ について以下が成立する:

定義

複素数 $z = a + b i$ の絶対値 $| z |$ は次の通り：

$| z | = \sqrt{z \cdot \bar{z}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

B. 絶対値の性質 $(z, w \in C)$

$| z | ≧ 0$ であり, $| z | = 0$ $⟺$ $z = 0$
【共役複素数の絶対値】 $| z | = | \bar{z} |$
【和と差の絶対値】 $| z | - | w | ≦ | z \pm w | ≦ | z | + | w |$
【積と商の絶対値】 $| z w | = | z | \cdot | w |$ , $| \frac{z}{w} | = \frac{| z |}{| w |}$

ポイント解説

イメージ

数直線上では絶対値は原点からの距離を表す。

定義

実数 $x$ について, 定義は①または②に言い換えらことができる；

① $| x | := max {x, - x}$
② $| x | := \sqrt{x^{2}}$

絶対値をはずす

複素数 $z$ と $r > 0$ について, $| z | = r$ ならば, $θ \in [0, 2 π)$ の範囲において, 次の複素数に対応する： $x = r (\cos θ + i \sin θ)$

B(3)

三角不等式という。

発展

絶対値を一般化した概念がノルム $| | x | |$ であり, 三角不等式が基軸になる： $| | x + y | | ≦ | | x | | + | | y | |$

Python

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例えば、 $| - 8 |$ を計算するコードは次の通りです。

abs(-8)

簡単な関数 $f (x) = x$ について，グラフを描画しましょう。

linspace の特性上，刻みの数が偶数か奇数かで， $x = 0$ の箇所のグラフの形が変わることに注意する必要があります。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace( -5, 5, 49)
y = abs(x)
plt.plot(x, y)
plt.show()