- 表紙
- 法則
- 解説
- 折り紙
- コード
- まとめ
分配法則などの役割
なぜ、中学校の授業の最初に、分配法則、交換法則、結合法則を習うのでしょうか？
「計算するときに成り立つことだから、計算を早くしたり、複雑な計算ができるようになるために、習っているんだよ。」
というのは、半分正解です。
算数と数学の違いを踏まえて、残りの半分（数学という学問における法則とは）を説明します。
分配法則、交換法則、結合法則
3つの法則を文字を使って整理しましょう。
- 分配法則：$a \times (b+c) = a \times b + a \times c$
- 交換法則：$a + b = b + a$ もしくは $a \times b = b \times a$
- 結合法則：$(a + b) + c = a + (b+c)$ もしくは $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
眺めるだけではなく、具体的な数字で確かめることが大切です。
例えば、$a = 3$, $b=4$, $c=5$ とします。
分配法則について
分配法則は、次の通り成り立ちます！
(左辺) = $3 \times (4 + 5)$ = $3 \times 9 = 27$
(右辺) = $3 \times 4 + 3 \times 5$ = $12 + 15 = 27$
交換法則について
交換法則は、次の通り成り立ちます！（積の交換法則は省略します。）
(左辺)= $3+4 = 7$
(右辺)= $4+3=7$
結合法則について
結合法則は、次の通り成り立ちます！（積の結合法則は省略します。）
(左辺)= $(3+4)+5$ $=7+5=12$
(右辺)= $3+(4+5)$ $=3+9=12$
以上、数の計算に関する法則を確認できました。
数の計算から文字の計算へ
ここで疑問を持つ人が正解です←この疑問が大切！。
文字を使って、「法則だよ」と伝えています。これについて、すぐに腑に落ちているでしょうか？
具体的な数字で3つの法則が成り立つことは信じられる。
でも、文字の計算に、この法則が成り立つの？
ってか、そもそも文字の計算って何？
この疑問は当然の疑問です！
実は、文字の計算では、3つの法則が（元から）成り立つ、のではなく、3つの法則が成り立つように計算を決める（定義する）と考えています！
数学で「法則」を学ぶ理由
分配法則、交換法則、結合法則の役割
分配法則、交換法則、結合法則を学ぶ理由は、次の2つです。
- 自然数（や分数、小数）の数に共通して成り立つ法則が、分配法則、交換法則、結合法則だから学ぶ
- 文字の計算や、他の数（マイナス、複素数、ベクトルなど）の計算ルールを決めるために、分配法則、交換法則、結合法則を基準にして決めるから学ぶ
理由の①は多くの皆さんが知っていることかもしれません。
文字の計算、マイナスの数、ベクトルや複素数の計算など、身の周りの秩序で計算法則が分からない数の計算については、「3つの規則が成り立つように計算ルールを決める」という立場で考えます。
算数と数学の考え方の区別
この考え方から、算数と数学の区別をしましょう。
算数とは①の考え方をしていく勉強であり、数学とは②の考え方をしていく学問のことです。
算数の勉強
算数では、自然数（や分数、小数）について数の計算で成り立つ法則を見つけていく勉強をしている。
数学の勉強
新しい「数」を創る（発見する）。算数で見つけた法則をベースにして、その数の計算規則はを理解していく（決めていく）勉強をしている。
このような考え方を頭に入れておくと、算数の殻を破って数学を受け入れやすくなります。
例えば、中学校・高校では、マイナスという新しい数の計算、複素数という新しい数の計算が登場します。これらには数学の力が必要になります。
新しい数の計算のルールを決めるために、今までで知っている数の計算の規則をベースにすることが数学を深く理解するために必要です！
展開公式・理解
数の計算において，次のような分配法則はいつでも成り立つ。
$8 \times (10 + 2) = 8 \times 10 + 8\times2$
文字式の計算でも「分配法則」が必ず成り立つものと要請します。
基本の展開公式について
$a(x+y)$ の展開公式
詳しい解説はこちら
式の展開公式
$a(x+y) = ax+ay$
$(a+b)x = ax+by$
$a(x+y)$ などの展開の計算方法を習得してみよう。
例えば, $3(2+4) = 3\times 2 + 3 \times 4$ という計算です。
解説.
数の計算において, 分配法則がいつでも成り立っている.
$$8 \times (10 + 2) = 8 \times 10 + 8\times2.$$
文字式の計算でも同様の分配法則が必ず成り立つものと要請する.
ゆえに, $a(x+y) = ax + ay$ と $(a+b)x = ax+by$ は成り立つものとする.
同様に, $(a+b)x = ax + bx$ も成り立つとしています。
$(x+a)(x+b)$ の展開公式
詳しい解説はこちら
式の展開公式
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
$(x+a)(x+b)$ の展開の計算方法を習得してみよう。
例えば, $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ という計算です。
解説.
分配法則を利用します.
$a(x+y) = ax + ay$
$(a+b)x = ax + bx$
左辺 $(x+a)(x+b)$ から右辺を導きます.
$$\begin{aligned}
&(x+a)(x+b) \\
&=(x+a)x + (x+a)b \\
&= x^2 + ax + xb + ab \\
&= x^2 + ax + bx + ab\\
&= x^2 + (a+b)x + ab.
\end{aligned}$$
ゆえに, $$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$ が成立する.
$(x+a)^2$ の展開公式
詳しい解説はこちら
式の展開公式
$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$
$(x+a)^2$ の展開の計算方法を習得してみよう。
例えば, $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ という計算です。
解説.
展開の公式を仮定して, 公式を導く.
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x +ab$
左辺 $(x+a)^2$ から, 右辺を導く.
$$\begin{aligned}
&(x + a)^2 \\
&= (x + a)(x + a)\\
&= x^2 + (a+a)x + a\cdot a \\
&= x^2 + 2ax + a^2
\end{aligned}$$
ゆえに, $$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$$ が成立する.
$(x-a)^2$ の展開公式
詳しい解説はこちら
式の展開公式
$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$(x-a)^2$ の展開の計算方法を習得してみよう。
例えば, $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ という計算です。
解説.
次を仮定して, 公式を導く.
$(x-a)^2 = x^2 + 2ax +a^2$
左辺 $(x-a)^2$ から, 右辺を導く.
$$\begin{aligned}
&(x - a)^2 \\
&= (x + (-a))^2 \\
&= x^2 + \{2 \times (-a)\} x + (-a)^2 \\
&= x^2 - 2ax + a^2
\end{aligned}$$
ゆえに, $$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$$ が成立する.
$(x+a)(x-a)$ の展開公式
詳しい解説はこちら
式の展開公式
$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$
$(x+a)(x-a)$ の展開の計算方法を習得してみよう。
例えば, $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$ という計算です。
解説.
次を仮定して, 公式を導く.
$(x+a)(x+b)= x^2 + (a +b)x +ab$
左辺 $(x+a)(x-a)$ から, 右辺を導く.
$$\begin{aligned}
&(x+a)(x-a) \\
&= (x+a)(x+(-a)) \\
&= x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a) \\
&= x^2 + 0x -a^2\\
&= x^2 -a^2
\end{aligned}$$
ゆえに, $$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$$ が成立する.
折り紙で式の展開
式の展開の知識をオリガミ（折り紙）で体験します。
応用力を磨きたい人にオススメです！
高校数学の単元学習、普段の勉強を楽しく取り組みたい人にもオススメです。
目次
分配法則とオリガミ
$a(x+y) =ax+ay$
乗法公式とオリガミ
1つ目：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
2つ目：$(x-y)^2=x^2 -2xy+y^2$
※ラストの写真は「$x^2$」ではなく「$a^2$」の間違いです。
3つ目：$(x-a)(x+a)=x^2 -a^2$
4つ目：$(x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x +ab$
文字で置き換えて展開する計算のオリガミ
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 +2ab +2bc +2ca$
ここまで！
オリガミ（折り紙）で式の展開！
式の展開の知識をオリガミ（折り紙）で体験します。 応用力を磨きたい人にオススメです！ 高校数学の単元学習、普段の勉強を楽しく取り組みたい人にもオススメです。 目次…
ますレッスン教室
オリガミ（折り紙）で因数分解、平方完成！
因数分解の知識をオリガミ（折り紙）で体験します。 応用力を磨きたい人にオススメです！ 高校数学の単元学習、普段の勉強を楽しく取り組みたい人にもオススメです。 目次…
オリガミ（折り紙）で3乗の立方公式！
式の展開と因数分解の３乗の計算の知識をオリガミ（折り紙）で体験します。 応用力を磨きたい人にオススメです！ 高校数学の単元学習、普段の勉強を楽しく取り組みたい人…
式の展開のPythonコード
四則演算（加減乗除）とべき乗 $a^b$ の計算方法を確認しておきます。
詳しい証明はこちら
四則演算（加減乗除）とべき乗をPythonで計算してみよう。
演算
足し算は+を使う。引き算は-を使う。掛け算は*を使う。割り算は/を使う。べき乗は**を使う。
Python. $a+b$, $a-b$, $a \times b$, $a \div b$, $a^b$ を計算する。
a = 3
b = 2
print(a + b) #足し算
print(a - b) #引き算
print(a * b) #掛け算
print(a / b) #割り算
print(a ** b) #べき乗5
1
6
1.5
9
式を展開する
詳しい証明はこちら
式の展開をPythonで計算してみよう。
式の展開
文字式を扱うためにsympyモジュールを利用する。
expand()関数で式を展開する。
Python. $(x+y)(2x+3y)$ を展開する。
import sympy
#xとyを文字として定義する
x = sympy.Symbol('x')
y = sympy.Symbol('y')
#式Pを定義する
P =(x+y)*(2*x + 3*y)
#Pを展開して表示する
print(sympy.expand(P))
#PをLaTeX表示する
display(sympy.expand(P))
数学のまとめノート
「式の展開」とは
多項式の積を単項式の和で表すこと。
分配法則
$a(x+y) = ax + ay$
が成り立つ.
A. 乗法公式（2次式の展開）
- $(x+a)(x+b)$ $=x^2 + (a+b)x + ab$
- $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$
- $(x+a)(x-a) = x^2-a^2$
B. 乗法公式（3次式の展開）
- $(x + a)^3 =x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$, $(x - a)^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$
- $(x + a)(x^2 - ax + a^2)=x^3 + a^3$, $(x - a)(x^2 + ax + a^2) = x^3 - a^3$
C. 乗法公式（$n$次式の展開）
- $(x+a)^n$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^n {}_{n}\mathrm{C}_{k} x^{n-k} a^k$【二項定理】
- $(x - a)(x^{n-1} +ax^{n-2} +\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})$ $=x^n-a^n$
- $(x + a)(x^{n-1} -ax^{n-2} -\cdots -a^{n-2}x+a^{n-1})$ $=x^n+a^n$ ( $n$ が奇数のときのみ)
ポイント解説
基礎
分配法則を基本として, 交換法則と結合法則から各公式が導かれる。
A
面積の意味をもつ↓
＋α
文字3つの展開公式↓
$(x+y+z)^2$ $=x^2+y^2+z^2 +2xy+2yz+2zx$
B
体積の意味をもつ↓
発展
ある条件のもと任意の関数 $f(x)$ を展開できる（テイラー展開）：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^m$$
