式の展開について

解説.

数の計算において, 分配法則がいつでも成り立っている.

文字式の計算でも同様の分配法則が必ず成り立つものと要請する.

ゆえに, $a(x+y) = ax + ay$ と $(a+b)x = ax+by$ は成り立つものとする.

解説.

分配法則を利用します.

左辺 $(x+a)(x+b)$ から右辺を導きます.

$$\begin{aligned}
&(x+a)(x+b) \\
&=(x+a)x + (x+a)b \\
&= x^2 + ax + xb + ab \\
&= x^2 + ax + bx + ab\\
&= x^2 + (a+b)x + ab.
\end{aligned}$$

ゆえに, $$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$ が成立する.

解説.

展開の公式を仮定して, 公式を導く.

左辺 $(x+a)^2$ から, 右辺を導く.

$$\begin{aligned}
&(x + a)^2 \\
&= (x + a)(x + a)\\
&= x^2 + (a+a)x + a\cdot a \\
&= x^2 + 2ax + a^2
\end{aligned}$$

ゆえに, $$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$$ が成立する.

解説.

次を仮定して, 公式を導く.

左辺 $(x-a)^2$ から, 右辺を導く.

$$\begin{aligned}
&(x - a)^2 \\
&= (x + (-a))^2 \\
&= x^2 + \{2 \times (-a)\} x + (-a)^2 \\
&= x^2 - 2ax + a^2
\end{aligned}$$

ゆえに, $$(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$$ が成立する.

解説.

次を仮定して, 公式を導く.

左辺 $(x+a)(x-a)$ から, 右辺を導く.

$$\begin{aligned}
&(x+a)(x-a) \\
&= (x+a)(x+(-a)) \\
&= x^2 + (a + (-a))x + a \cdot (-a) \\
&= x^2 + 0x -a^2\\
&= x^2 -a^2
\end{aligned}$$

ゆえに, $$(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$$ が成立する.

解説. 置き換えを利用する

$M= a+b$ と置く.

$(a+b+c)^2$ $=(M+c)^2$ $=M^2 + 2Mc + c^2.$

文字に置いた箇所を元に戻すと,

$(a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

$=a^2$ $+2ab$ $+b^2$ $+2ac$ $+2bc$ $+c^2$

$=a^2$ $+b^2$ $+c^2$ $+2ab$ $+2bc$ $+2ac$.

となる。

ゆえに,

$(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

が成立する.

証明.

$(x+a)^3$ を $(x+a)(x+a)^2$ として実際に展開して計算する.

$\begin{aligned}
&(x+a)^3 \\
&\phantom{aa}=(x+a)(x+a)^2 \\
&\phantom{aa}=(x+a)(x^2+2ax + a^2) \\
&\phantom{aa}=x^3+2ax^2 + a^2x \\
&\phantom{aaaaaaa}+ax^2+2a^2x + a^3 \\
&\phantom{aa} = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3
\end{aligned}$

ゆえに,

$(x+a)^3$ $= x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$

が成立する.

証明.

$(x+a)^3$ の展開公式を利用する.

$\begin{aligned}
&(x+(-a))^3 \\
&\phantom{a}=x^3 + 3(-a)x^2 + 3(-a)^2x + (-a)^3 \\
&\phantom{a}=x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3
\end{aligned}$

ゆえに,

$(x-a)^3$ $= x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$

が成立する.

証明.

$(x+a)(x^2-ax+a^2)$ を実際に展開して計算する.

$\begin{aligned}
&(x+a)(x^2-ax+a^2) \\
&\phantom{aa}=x^3-ax^2 + a^2x \\
&\phantom{aaaaaa}+ax^2-a^2x + a^3 \\
&\phantom{aa} = x^3 + a^3
\end{aligned}$

ゆえに,

$(x+a)(x^2-ax+a^2)$ $= x^3 + a^3$

が成立する.

証明.

$(x-a)(x^2+ax+a^2)$ を実際に展開して計算する.

$\begin{aligned}
&(x-a)(x^2+ax+a^2) \\
&\phantom{aa}=x^3+ax^2 + a^2x \\
&\phantom{aaaaaa}-ax^2-a^2x - a^3 \\
&\phantom{aa} = x^3 - a^3
\end{aligned}$

ゆえに,

$(x-a)(x^2+ax+a^2)$ $= x^3 - a^3$

が成立する.

証明.

$(x+y)^n = (x+y) \cdot \cdots \cdot (x+y)$ を展開すると $x^{n-k}y^k$ は ${}_n \mathrm{C}_k$ 個存在する.

なぜならば, $n$ 個の $(x+y)$ の積において, $x$ を $n-k$ 回, $y$ を $k$ 回選んでかける組合せの総数と等しいからである.

また, 展開式に現れる単項式は $x^{n-k}y^k$ の形のみで, $0 \leqq k \leqq n$ の範囲を動く.

ゆえに,

$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k}y^k$

が成立する.

証明.

$(x+y+z)^n = (x+y+z) \cdot \cdots \cdot (x+y+z)$ を展開すると $x^py^qz^r$ は $\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}$ 個存在する.

なぜならば, $n$ 個の $(x+y+z)$ の積において, $x$ を $p$ 回, $y$ を $q$ 回, $z$ を $r$ 回選んでかける組合せの総数と等しいからである.

また, $p, q, r$ は $0 \leqq p, q, r \leqq n$ と $p+q+r=n$ を満たす整数とすると, 展開式に現れる単項式は $x^py^qz^r$ の形のみある.

ゆえに,

$(x+y+z)^n$ $\displaystyle =\sum_{\substack{p,q,r \geq 0 \\ p+q+r=n}} \frac{n!}{p!q!r!} x^py^qz^r$

が成立する.

証明.

$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2} $ $+y^{n-1})$ について, $x-y$ を $x$ と $-y$ に分割して, それぞれ展開して和を計算する.

$x$ と $x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は

$x^n+x^{n-1}y + \cdots +x^2y^{n-2} +xy^{n-1}$

である.

$-y$ と $x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は

$-x^{n-1}y - \cdots -x^2y^{n-2} -xy^{n-1} -y^{n}$

である.

これらの和は $x^n - y^n$ である.

ゆえに,

$(x-y)$ $(x^{n-1}$ $+x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $+xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$

が成立する.

証明.

$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ について, $x+y$ を $x$ と $y$ に分割して, それぞれ展開して和を計算する.

$x$ と $x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は

$x^n-x^{n-1}y + \cdots -x^2y^{n-2} +xy^{n-1}$

である.

$y$ と $x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1}$ の積は

$x^{n-1}y + \cdots +x^2y^{n-2} -xy^{n-1} +y^{n}$

である.

これらの和は $x^n + y^n$ である.

ゆえに,

$(x+y)$ $(x^{n-1}$ $-x^{n-2}y$ $+ \cdots$ $-xy^{n-2}$ $+y^{n-1})$ $= x^n + y^n$

が成立する.