- まとめ
- 具体例
「メルカトル図法」とは
コンパスで同方向に進む経路が、直線で表現される地図のこと。
準備
$x \in ( -\pi/2, \ \pi/2)$ について, 次を逆グーデルマン関数と呼ぶ:
$\mathrm{gd}^{-1}(x)=\mathrm{arsinh}\circ \tan(x)$
A. メルカトル射影（定義）
地球上の経度 $u$, 緯度 $v$ の地点 $\mathsf{S}(u,v)$ を, 平面上の次の点に写す.
$\mathsf{Mer}: \mathsf{S}(u,v) \mapsto (u, \mathrm{gd}^{-1}(v))$
微分
地表の点 $\mathsf{S}(u_0,v_0)$ の接平面 $T_{(u_0, v_0)} \mathsf{S}$ における基底 $\mathbf{e}_u$ と $\mathbf{e}_v$ に関するメルカトル射影 $ \mathsf{Mer}$ のヤコビ行列は次の通り:
$J_{\mathsf{Mer}}(u_0, v_0) =
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sec v_0
\end{array} \right]$
B. メルカトル射影の等角性
メルカトル射影 $\mathsf{Mer}$ は等角写像である.
C. メルカトル図法の等角性
メルカトル図法では, 経線と緯線がそれぞれ平行なので, メルカトル射影 $\mathsf{Mer}$ の等角性から, 等角航路が直線で表現される.
ポイント解説
$\mathrm{arsinh}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$
半径を $1$ とした地球で, 経度が $u$(rad), 緯度が $v$(rad)の地点の座標 $\mathsf{S}(u,v)$ は,
$( \cos u \cos v, \ \sin u \cos v, \ \ \sin v )$.
A
メルカトル射影の縮尺イメージ:
B
接平面の標準的な基底は次の通り:
$\left\{ \begin{array}{l}
\mathbf{e}_u = (-\sin u_0 \cos v_0,\cos u_0 \cos v_0, 0) \\
\mathbf{e}_v = (-\cos u_0 \sin v_0, -\sin u_0 \sin v_0, \cos v_0)
\end{array} \right. $
任意の接ベクトル $a_1 \mathbf{e}_u + a_2 \mathbf{e}_v$ と $b_1 \mathbf{e}_u + b_2 \mathbf{e}_v$ の角度と, $J_{\mathsf{Mer}}(u_0,v_0) \left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right]$ と $J_{\mathsf{Mer}}(u_0,v_0) \left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right]$ の角度が常に等しいものが等角写像である.
具体例
利用物
Google Maps
国土地理院
ユニバーサル横メルカトル図法が
国際的なスタンダード
16世紀
エッツラハプ（🇧🇪）やメルカトル（🇧🇪）が地図に利用
メルカトル図法って何か調べてみた
地図で作り方で有名なメルカトル図法のメリット・デメリットと、歴史を調べてみました。 そして、地図の作り方の数学をちょっと計算してみました。 目次メルカトル図法の…
ますレッスン教室 
参考文献
- メルカトル図法について
- グーデルマン関数について
