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数学のまとめ
「メネラウスの定理」とは
三角形と直線について成り立つ定理のこと。
準備 (A)
三角形ABCと, その頂点を通らない直線 $\ell$ をとる. 直線 $\ell$ は三角形のどの辺とも平行ではないとする.
A. メネラウスの定理
直線 $\ell$ と, 辺ABの交点をR, 辺BCとの交点をP, 辺CAとの交点をQとする. なお, 直線と辺の延長線上での交点も認める. このとき,
$$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} =1 \ \ \cdots \cdots (\ast)$$
準備 (B)
直線AB上の点を $\mathrm{R}$, 直線BC上の点を $\mathrm{P}$, 直線CA上の点を $\mathrm{Q}$ をとる. これらの点は三角形の頂点ではないとする.
B. メネラウスの定理の逆（共線条件）
$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ のうち, 三角形の辺上にある点の個数が0個か2個で, さらに関係式 $(\ast)$ が成り立つとき, 3点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ は同一直線上に存在する.
ポイント解説
A
参考図（$(\ast)$ の見方）
B
参考図（共線）
