三角形の外心について

数学のまとめ

「三角形の外接円」とは

三角形の外接円の中心のこと。

定義

三角形の３本の辺の垂直二等分線の交点を外心とする.

A. 外心の存在の保証

三角形の３本の辺の垂直二等分線は, 一点で交わる.

B. 性質（頂点との関係）

外心から三角形の各頂点までの長さはすべて等しい. したがって, 外心は外接円の中心である.

C. 公式（外接円の半径を求める）

三角形ABCの3辺の長さを $a$, $b$, $c$ とする。また, 外接円の半径の長さを $R$ とする.

$$2R =\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$$

ポイント解説

三角形の2辺の垂直二等分線の交点を, 残りの辺の垂直二等分線も通ることを示して, 証明できます。例えば, 辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとします。OB=OAかつOC=OAなので, OB=OCです。三角形OBCが二等辺三角形なので, 辺BCの垂直二等分線は点Oを通ることが分かります。

Aの証明に含まれています。

正弦定理といいます。