階差数列について

定義

数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ は

$b_n=a_{n+1}-a_n$

である.

定義

数列 $\{a_n\}$ の階比数列 $\{b_n\}$ は

$b_n=a_{n+1}/a_n$

である.

A

$n\geqq 2$ のとき, $$\begin{array}{rl}{a}_n& =a_{n-1}+b_{n-1}\\ & =(a_{n-2}+b_{n-2})+b_{n-1}\\ & ={\displaystyle a_{n-2}+\sum _{k=n-2}^{n-1}{b}_k}\\ & =\cdots \\ & ={\displaystyle a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k}\end{array}$$

B

$n\geqq 2$ のとき, $$\begin{array}{rl}{S}_n-S_{n-1}& =\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^{n-1}{a}_k\\ & =a_n\end{array}$$

C

$n\geqq 2$ のとき, $$\begin{array}{rl}{a}_n& =a_{n-1}\cdot b_{n-1}\\ & =a_{n-2}\cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\\ & ={\displaystyle a_{n-2}\times \prod _{k=n-2}^{n-1}{b}_k}\\ & =\cdots \\ & ={\displaystyle a_1\times \prod _{k=1}^{n-1}{b}_k}\end{array}$$