- まとめ
「2次曲線」とは
2次の方程式で表せる曲線のこと。
分類
2次曲線は, 楕円と放物線, 双曲線に分類できる.
一般式
$ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$
A. 極座標表示
定数 $\ell>0$ と離心率 $e$ で, 極座標 $(r; \theta)$ で2次曲線を表すと,
$\displaystyle r = \frac{\ell}{1 + e \cdot \cos \theta}$
B. 共通する性質
- 曲線の内側に当たった光線は屈折したのち，焦点を通る.
- 適当な遠近法によって, すべて楕円に見える.
C. 現象による分類（統一的な扱い）
- 円錐の切断
- 惑星軌道の力学的エネルギー
- 塩山が造る幾何
ポイント解説
A
離心率 $e$ は, 曲線上の任意の点から, 焦点と準線までの距離の比をとったものです。
・$0 < e < 1$：楕円
・$e = 1$：放物線
・$1 < e$：双曲線
C
(1) すべての２次曲線は円錐を切断した断面として現れます。
(2)惑星のもつ力学的エネルギ $E$ について, 惑星軌道は次のようになります。
・$E > 0$：楕円
・$E = 0$：放物線
・$E < 0$：双曲線
(3)土台の形状の違いで, 塩山が造る2次曲線が変化します。
★それぞれの詳細は今後書いていきます。
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