- まとめ
- 具体例
まとめ
フィボナッチ数列とは
前の2つの数の和が次の数になる数列のこと。
定義
$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ , $a_1=a_2=1$
数列
$1, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ 21, \ 34, \ \cdots$
A. 一般項
$\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$
B. 性質
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ $\displaystyle = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
ポイント解説
A
$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とします。
漸化式(定義)は次の2式に変形できます。
$$\left\{ \begin{array}{lll}
a_{n+2} - \phi a_{n+1} &=& \frac{1}{\phi}(a_{n+1} - \phi a_n) \\
a_{n+2} - \frac{1}{\phi} a_{n+1}&=& \phi(a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n)
\end{array} \right. $$
数列 $\{ a_{n+1} - \phi a_n \}_n$ と $\{ a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n \}_n$ が等比数列と分かるから,
$$\left\{ \begin{array}{lll}
a_{n+1} - \phi a_n &=& \frac{1}{\phi^n}\\
a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n &=& \phi^n
\end{array} \right. $$
この2式を整理して,
$$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \frac{1}{\phi^n} \right).$$
B
フィボナッチ数列の隣り合う項の比は黄金比 $\phi$ です。
具体例
自然界
類似の数列
フィボナッチ数列は $F_0=0$, $F_1=1$ かつ $n \geqq 2$ において, $F_{n} =F_{n-1} + F_{n-2}$ と定義される. この定義を発展させ, 類似の数列を定義する.
$0, \ 1, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ 21, \ 34, \ 55, \ \cdots$
トリボナッチ数列
$0 , \ 0, \ 1, \ 1, \ 2, \ 4, \ 7, \ 13, \ 24, \ 44, \ 81, \ 149, \ \cdots$
$F_{n+3} = F_{n+2} + F_{n+1} + F_n \ (n \geqq 3)$
$F_0=F_1 =0, \ F_2=1$
テトラナッチ数列
$0 , \ 0, \ 0, \ 1, \ 1, \ 2, \ 4, \ 8, \ 15, \ 29, \ 56, \ 108, \ 208, \ \cdots$
$F_{n+4} = F_{n+3} + F_{n+2} + F_{n+1} + F_n \ (n \geqq 4)$
$F_0=F_1 = F_2 = 0, \ F_3=1$