- まとめ
「フィボナッチ数列」とは
$1, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ 21, \ 34, \ \cdots$ のこと。
定義（漸化式）
前の２つの数の和が次の数になる数列である.
$$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$$
A. 一般項
$\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$
B. 性質
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ $\displaystyle = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
ポイント解説
A
$\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とします。
漸化式（定義）は次の2式に変形できます。
$$\left\{ \begin{array}{lll}
a_{n+2} - \phi a_{n+1} &=& \frac{1}{\phi}(a_{n+1} - \phi a_n) \\
a_{n+2} - \frac{1}{\phi} a_{n+1}&=& \phi(a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n)
\end{array} \right. $$
数列 $\{ a_{n+1} - \phi a_n \}_n$ と $\{ a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n \}_n$ が等比数列と分かるから,
$$\left\{ \begin{array}{lll}
a_{n+1} - \phi a_n &=& \frac{1}{\phi^n}\\
a_{n+1} - \frac{1}{\phi} a_n &=& \phi^n
\end{array} \right. $$
この2式を整理して,
$$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \frac{1}{\phi^n} \right).$$
B
フィボナッチ数列の隣り合う項の比は黄金比になってます。
C
(1)フィボナッチのうさぎ (2)対数螺旋 (4)階段を1段か2段で登る時の登り方の総数
★各詳細は今後書いていきます。
うさぎのつがいは産まれて2ヶ月後から、つがいのうさぎを毎月産むとします。産まれたばかりのつがいのうさぎから、１年後には数はいくらになってますか。
