ゼロの階乗は計算できますか？順列と組合せの計算と意味を合致させ決めます！

順列と組合せの計算と意味の正確な理解と見方を整理します！

今回は、階乗の計算で ナゼ 0! が 1 であるのかを確かめる記事です。

数学の授業で、$0! = 1$ や ${}_n {\mathrm P}_0 = 1$ などと習いますが、この式の「意味」を考えたことがあるでしょうか？この式の意味を、順列と組合せの意味を解釈することも含めて、一緒に解明したいと思います！

今回のブログの内容です：

• 順列の計算記号と組合せの計算記号の考え方を、「順列と組合せ」の意味を通して理解すること、
• 文字の定義域として許される値を正確にきちっと整理します。

階乗と順列、組合せの計算と意味の確認

場合の数の単元は、並べたり選んだりする話ですが、何を並べたり選んだりするかによって説明の仕方（単位）が変わります。この記事では、「人」を並べたり選んだりすることに統一して説明を行います。

階乗（factorial）

階乗とは、次の計算のことを指します。

$n \geqq 1$ としたときに、

$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$

のことです。ここで、中学校で学ぶ樹形図の考え方を利用すると、この計算式は

「$n$人の人物が並ぶときの場合の数」を表す

という意味を持ちます。この意味が大切だと認識しておいてください。

順列（permutation）

順列とは、次のように並べることのことを言います。

何人かの中から、数人選び、並べること

これが順列の意味です。

このとき、この並べ方を計算で求めることを行います。もし、$n$ 人の中から、$r$ 人選び並べることの場合の数を求めるときは、理解が少し必要となりますが、

$\frac{n!}{(n-r)!}$

という計算で求めることができます。この計算式を ${}_n {\mathrm P}_r$ と表記することにします。また、これは次のように変形することができます。

$n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)$

組合せ（Combination）

組合せとは、次のように選ぶことを言います。

何人かの中から、数人選ぶこと

これが組合せの意味です。

このとき、この選び方を計算で求めることを行いたいます。もし、$n$ 人の中から、$r$ 人選ぶことの場合の数を求めるときには、理解が少し必要となりますが、

$\frac{n!}{(n-r)! \times r!} = \frac{{}_n{\mathrm P}_r}{r!}$

という計算で求めることができます。この計算式を ${}_n {\mathrm C}_r$ と表記することにします。また、これは次のように変形することができます。

$\frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)}{1 \times 2 \times \cdots r}$

以上が、教科書で学ぶ話だと思います。この順番にしっかりと注意しておいてください。

階乗と順列、組合せの計算式で気にしていないこと

上で述べた公式を整理しておきます。

• $n! = n \times \cdots \times 1$
• ${}_n {\mathrm P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$
• ${}_n {\mathrm C}_r = \frac{n!}{(n-r)! \times r!}$

この列挙で公式が完璧に分った！となるかもしれませんが、何か気にしていないことに気付かないでしょうか？

そうです。$n$ と $r$ の条件を決めていません。①の式は、$1 \leqq n$ の自然数と定めましたが、他の式はどうでしょうか？

• 全ての式に、$n!$ が存在しているので、全ての式は $1 \leqq n$ でなければいけない。
• ②の式は、$r=n$であると、分母に $0!$ が現れ、上のことに矛盾するのでダメです。したがって、$r < n$ です。←なんと ${}_n {\mathrm P}_n$ の計算は分からないのです！
• ③の式は、$r=n$ や $r=0$ であると、分母に $0!$ が現れ、上のことに矛盾するのでダメです。したがって、$0 < r <n$ です。←なんと ${}_n {\mathrm C}_n$ の計算は分からないのです！

実は、この段階では、$0!$ や ${}_n {\mathrm P}_n$, ${}_n {\mathrm C}_n$ などの値の計算は定まっていません。

これでは困りますね。。←なぜ、困るでしょうか？（${}_n {\mathrm C}_n$ という $n$ 人全員を選ぶ計算が同じ式で出来ないから、困ります。）

なので、これらの公式の意味を考えてあげることで、$0! = 1$ と解釈することを成し遂げます。

階乗と順列の意味と計算を理解する

まず、${}_n {\mathrm P}_n$ と $0!$ の値を定めたいと思います。

${}_n {\mathrm P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$

（ $1 \leqq n$ かつ $r < n$ ）

です。

$r=n$ のとき ${}_n {\mathrm P}_n = \frac{n!}{0!}$ となってしまい、$0!$ が出てきてしまいます。ここで、${}_n {\mathrm P}_n$の数式を考えるのではなく、意味を思い出します。この意味に沿うように数式の値を決めます！

順列は「$n$人の中から$n$人を選び、並べる」という意味なので、$n!$ にならなければなりません。したがって、${}_n {\mathrm P}_n$ は $n!$ であると意味を通すために無理矢理決めてしまいます。

このとき、$n! = \frac{n!}{0!}$ が成り立つためには、$0!=1$ である必要があります。つまり、$0! = 1$ としてあげると、順列の意味との整合性が保てます！

このようにして、

• $0 \leqq n$ で、$n!$ を定めることができました。
• $1 \leqq n$ と $r \leqq n$ で、${}_n {\mathrm P}_r$を定めることができました。

何も矛盾することはありません。数式の中に登場する $0!$ を $1$ として解釈して上げることで、意味も計算も完璧に満足されるのです！

だから、$0! = 1$ という式は、「ゼロとイチ」という数字の関係ばかり見ていると全く理解できない式ですが、「順列の意味を満足させる」という関係性を見てあげると何一つおかしなことは無い数式と捉えることができます。

順列の意味と計算を理解する

さきほど $0!=1$と決めました。では、$r=0$ として、${}_n {\mathrm P}_0$ の値を確かめます。

${}_n {\mathrm P}_0 = \frac{n!}{(n-0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$

となり、なんの疑問もなく計算できます。だから、${}_n {\mathrm P}_0=1$ なのです。計算で確かめることができました。

果たして、この式は、順列の意味と合致しているのでしょうか？

そもそも ${}_n {\mathrm P}_0=1$ に意味なんてあるのでしょうか？

実は、きちんと解釈をすることができます。

$n$ 人の中から、誰も選ばずに、並べる場合の数の総数は「1」通りである。つまり、何も選ばないという場合の1通りが ${}_n {\mathrm P}_0$ の計算結果に現れると思えます。

つまり、${}_n {\mathrm P}_0$ は計算的にも順列の意味的にも「1」であることが妥当と分かりました。

組合せの意味と計算を理解する

組合せ ${}_n {\mathrm C}_r $ の定義は次の通りです。

${}_n {\mathrm C}_r = \frac{{}_n {\mathrm P}_r }{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ただし、$1 \leqq n$ かつ $0 < r < n$ です。

さきほど、$0! = 1$ と決めたので、${}_n {\mathrm C}_n$ の値も ${}_n {\mathrm C}_0$ の値も定まります！

• ${}_n {\mathrm C}_n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!} = 1$
• ${}_n {\mathrm C}_0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{0! \times n!} = 1$

です。すなわち、${}_n {\mathrm C}_n = {}_n {\mathrm C}_0 =1$ が得られます。

これより、組合せの ${}_n {\mathrm C}_r$ も、$1 \leqq n$ で $0 \leqq r \leqq n$ のときに定めることができました。

さて、残りの課題です。この計算は、組合せの意味と合致しているでしょうか？

組合せの意味は「$n$人の中から $r$ 人選ぶ」ことでした。

• $n$ 人の中から $n$ 人を選ぶことは、全員を選ぶことに他ならず、全員を選ぶという 1通りだけです。したがって、意味と計算結果は合致しています。
• $n$ 人の中から $0$ 人を選ぶことは、誰も選ばないことに他ならず、誰も選ばないという 1通りだけです。したがって、意味と計算結果は合致しています。

階乗と順列、組合せの意味と計算のまとめ

階乗の $0! = 1$ という式は、実は計算で自動的に求まるのではありません。これが分かってもらえたと思います。

階乗や順列、組合せの計算は、それらの元来の意味と合致させるという工夫を考慮することで、${}_n {\mathrm P}_r$ も ${}_n {\mathrm C}_r$ という記号も便利に計算できる式として認めることができるのです。

不思議な式ですが、意味と数式の整合性を保つために、$0! = 1$ と定めてあげることが、我々の計算を容易にしてくれるのです。

これより、$0!=1$ が最も自然な計算だと認識ができるのです！

いかがでしょうか？この式を自然と捉えることができるようになったでしょうか？そう解釈出来るようになってもらえれば嬉しいです！

ここまで、お読みいただき、ありがとうございます。